摘要：本文从一个小问题的分析，对动能定理的常用表述提出了疑问，并从动能定理的推导过程进行分析，提出了对动能定理表述的修正意见。
（一） 问题的引出
动能定理通常的表述是：合外力对物体所作的功等于物体动能的增量（普通物理学，第一册，程守洙、江之永编，1982年修订本，高等教育出版社）。在中学物理课本中也都普遍地采用了这一表述。
我认为这种表述值得讨论。先从一道小问题说起。
质量M的小车静止于光滑水平地面，一质量m的物块以水平初速V0滑上小车。小车与物块间的摩擦系数为μ。若物块不会从小车上滑下，则至小车与物块达到共同速度时，小车滑行的距离。
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这是非常普遍的两物体相互作用一种情境。有关这一问题的其他量的计算就不提了，来看看关于小车滑行距离的计算。 解：由动量守恒可以计算小车与物块的共同速度V. m V0=(m+M)V, 得V= m V0/(m+M) (1) 以小车为研究对象，设S为小车前进的距离 由动能定理：fS=MV2/2 (2) f=μN=μmg 得S= MV2/2μmg=mM V02/2μg (m+M)2 (3) 结论是正确的，第（2）式的关系也是正确的，这一关系式我们可以通过牛顿第二定律推得。但是否符合上述的动能定理的表述呢？（2）式左侧的表达式是不是合外力的功呢？ 看看功是如何定义的。 力对物体做的功等于力在作用点位移方向的分量和作用点位移大小的乘积。（也可以表达为：力与力的作用点的位移矢量的标积。） 如果力是变力，定义元功：dA=fds=fcosθds 则功A： ![]() 功的定义中，位移指的是力的作用点的位移，而不是受力物体的位移。 上一问题的（2）式的左侧，S指的是物体的位移，而不是力的作用点的位移（因为摩擦力的作用点随着小物块m相对滑动而在移动）。故（2）式左侧的表达式并不是合外力的功。 即：（2）式所表示的并不是合外力的功等于物体动能的改变。换一种说法：在这里，合外力的功并不等于物体动能的增量。 （二） 对矛盾的初步分析 通过对（2）式的分析，可以发现其等式关系是成立的。由牛顿第二定律： f=Ma (4) 及运动学公式V2—0=2aS (5) 可以唯一的得到（2）式的关系。 fS=MV2/2是牛顿第二定律的必然结论。但它又与动能定理的表述不相符。如果不是牛顿第二定律不正确，那就是动能定理表达的不对。显然我们要研究动能定理的表达是不是有了问题。 以（2）式为例，为了使动能定理不与牛顿定律的结论相背，我们只有两种选择： 1． 认为功的定义不恰当，应改为：力在物体位移方向上的分量与物体位移的乘积。（即：力与受力物体位移的标量积。） 2． 不改变功的定义，修正动能定理的表述，动能定理左侧所指的并不是合外力的功。 第1种选择正确吗？ 看这一情境： 一小球连结一弹簧，在外力的作用下压缩弹簧顶在墙壁上。外力突然撤去，弹簧将伸长，小球动能增加。 | | | 
在弹簧伸展的过程中，如果以弹簧和小球作为一个整体，其所受合外力是墙壁对它的压力，若认为功是力与物体位移的乘积，则在此，墙壁对系统做了功，其大小等于受力对象动能的增量。 显然，这是不对的。功是能量变化的量度和能量改变的途径。在这里，如果墙壁对系统做了功，则系统的能量必然会增加，墙壁的能量必然会减小。然而，事实上，系统的能量并没有增加，只有弹性势能与动能相互转化。 可见必然是动能定理的表述需要修正。 （三）动能定理的推导和动能定理的含义 我们还是看一下动能定理的推导过程，寻找为什么在上一问题会出现矛盾。 物体在外力的作用下运动，令物体的速度矢量为V,速度大小为V, ![]() ![]() ![]() 方程两侧各乘以m/2 则上式变为 ![]() ![]() (6)由牛顿第二定律： ![]() (7)由（6）（7）式 ![]() ![]() （8）由（8）得 dEk=FdS=FdScosθ (θ为F与dS的夹角)  积分得： 2
![]() （9） 1这就是动能定理，是牛顿第二定律的直接推论。 从上述推导的过程我们可以发现，位移S所指的是物体的位移。 关键原因在于：牛顿第二定律是质点的运动规律。加速度a指的是受力对象质心的加速度，因而在上面推导的过程中的速度V,位移S指的都是受力对象质心的速度和位移。 （9）式右侧表达式的含义为：力与位移矢量的标积（即力沿物体质心位移方向的分量与位移的乘积）沿运动路径的线积分。 如果研究的对象可以看作质点的话，那么质点的位移也就是其所受合外力的位移。动定理（9）式中右侧的表达式就是合外力的功。动能定理可以表述成：合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。 但是如果研究对象是一个不能看作为质点的系统，系统所受外力作用点的位移不一定等于系统质心的位移，那么，动能定理（9）式中右侧的表达式就不是外力对系统所做的功了。“合外力对物体所作的功等于物体动能的增量”不成立。 因此动能定理准确的表述应该为： 力与位移矢量的标积沿运动路径的线积分等于物体质心动能的增量。 在中学阶段通常遇到的情境是：外力恒定，运动轨迹为直线，此时动能定理可以简化为：在质心位移方向上的合外力与质心位移的乘积等于物体质心动能的增量。 合外力的功不一定等于物体动能的增量，其根本原因在于，外力的功不一定仅转化为物体的动能；物体动能的增加不一定是外力做功的结果，可以是内力做功（这种情形较常见，如走路、弹跳等）。物体的动能也不一定就是其质心的动能。 参考书目：1。《普通物理-1》程守洙、江之永编，1982年修订本，高等教育出版社，北京。 2．《新概念物理教程-力学》赵凯华、罗蔚茵，高等教育出版社，1995年7月，北京。
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