一.教法建议
【抛砖引玉】
在经典力学中，“动能定理”是“牛顿运动定律”的推论和发展，“功能原理”也是“牛顿运动定律”的进一步推导的结果。因此我们建议：教师不要把本单元的内容当作新知识灌输给学生，而是引导学生运用“牛顿运动定律”对下述的这个匀加速运动问题进行分析和推导，使学生自己获得新知识──“动能定理”和“功能原理”。
具体的教学过程请参考下列四个步骤：
第一步：说明物体的运动状态，并导出加速度计算式。
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如图5—5所示：物体沿着不光滑的斜面匀加速向上运动，通过A处时的即时速度为v0，通过B处时的即时速度为vt，由A处到B处的位移为S。通过提问引导学生根据vt2－v02=2as写出：
①
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第二步：画出物体的受力分析图，进行正交分解，说明物体的受力情况。
图5─6是物体的受力分析图（这个图既可以单独画出，也可补画在上图的A、B之间），物体受到了重力mg、斜面支持力N、动力F、阻力f。由于重力mg既不平行于斜面，也不垂直于斜面，所以要对它进行正交分解，分解为平行于斜面的下滑分力F1和垂直于斜面正压力F2。然后说明：物体在垂直斜面方向的力N=F2；物体平行斜面方向的力F＞f+F1(否则物体不可能加速上行)，其合力为：
②
第三步：运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。
若已知物体的质量为m、所受之合外力为、产生之加速度为a。
则根据牛顿第二定律可以写出：
③
将①、②两式代入③式：
导出： ④
若以W表示外力对物体所做的总功
⑤
若以Eko表示物体通过A处时的动能，以Ekt表示物体通过B处时的动能
则： ⑥
⑦
将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：
W=Ekt－Eko
若以△Ek表示动能的变化Ekt－Eko
则可写出“动能定理”的一种简单表达形式：
W=△Ek
它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。这个结论叫做“动能定理”。
第四步：在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。
在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过④式，现抄列如 下：
④
为了导出“功能原理”我们需要 对其中的下滑分力做功项F1S进行分析推导。
我们知道，当斜面的底角为θ时，下滑分力F1和重力mg的关系如下：
（前面已有⑤、⑥、⑦式）⑧
上式中sinθ 如何表达呢？请看图5—7：物体在A处时的高度为h0，在B处时的高度为ht，则根据中学数学中所学过的三角函数知识可以写出下式：
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⑨
将⑨式代入⑧式后进行推导：
⑩
将⑩式代入④式后进行推导：
若以代入⑾式，就导出了一种“功能原理”的数学表达形式：
Fs－fs=△EK+△EP
它的物理意义是：动力对物体做功Fs与物体克服阻力做功fs之差(不包括重力做的功)，等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。
若在⑾式基础上进行移项变化可导出下式：
⑿
若以代入⑿式，就可以写为：
Fs－fs=Et－E0
再以代入上式就可以导出“功能原理”的另一种数学表达形式：
WF=△E
它的物理意义是：外力对物体对所做的总功WF（不包括重力做的功），等于物体机械能的变化量△E。（当WF＞0时，△E＞0，机械能增加；当
WF＜0时，△E＜0，机械能减少。
(请读者注意 ：“功能原理”中的WF与“动能定理”中的W是不相同的！我们将在后面的“指点迷津”中进行说明。)
在上面所推导出的关于“功能原理”的各数学表达式中，虽以WF=△E最为简练，但在实用解题中以⑾、⑿两式最方便，在后讲述的“学海导航”和“智能显示”栏目中将会看到。
【指点迷津】
1.有没有更简单的方法推导出“动能定理”？
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有。可以采用“物体在水平拉力作用下沿光滑水平面匀加速运动”为例进行推导，具体过程如下：
如图5—8所示：质量为m的物体在一个水平动力F作用下，沿着光滑的水平面匀加速前进，通过A处简便方法，又何必在“抛砖引玉”中介绍用斜面推导的比较复杂的方法呢？其原因如下：
①在水平面推导法的过程中只有动能的变化，而没有势能的变化，这会使一些中学生误认为“动能定理”只适用于解答没有势能变化的单纯的动能变化问题，这显然是不对的！若采用斜面推导法，学生就一目了然，能全面正确地理解“动能定理”的适用范围了。
②采用水平面推导法只能推导出“动能定理”，而不能推导出“功能原理”；采用斜面推导法能在导出“动能定理”的基础上继续导出“功能原理”，从而使学生获得更多的知识，也有益于提高学生的解题能力。
③采用斜面推导法涉及的物理知识和数学方法较多，能够培养学生“运用数学解决物理问题的能力”。
2.“重力对物体做功”和“物体重力势能的变化”有什么关系？
重力对物体做功，可以使物体的重力势能发生变化。
当重力对物体做正功时（重力是动力），物体的重力势能减少。例如：物体沿竖直方向下降；物体沿斜面下滑……属于这种情况。
当重力对物体做负功时（物体克服重力做功），物体的重力势能增加 。例如：物体沿竖直方向上升；物体沿斜面上升……属于这种情况。
下面我们推导“重力对物体做功”与“物体重力势能的变化”的数量关系：
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如图5—9所示：质量为m的物体，在重力G=mg的作用下，由A处下落到B处，距地面高度先后为hA和hB。
重力对物体所做的功为：
WG=GS
物体重力势能的变化为：
由此可知：重力对物体的所做的功等于物体重力势能的变化。
上面推导出的这个结论是否只适用于竖直下落问题呢？不是的，它适用于重力对物体做功的各种情况，我们在后面的“学海导航”中还将通过例题说明其它情况。
3.“动能定理”和“功能原理”有什么联系和区别？在运用它们解题时需要注意什么？
研究“外力对物体做功”和“物体机械能变化”的关系是力学中的重要问题之一。“动能定理”和“功能原理”都是表达这种关系的规律，只是表达的形式不同，但它们的本质是相同的。
在“动能定理”中只提动能而不提势能；在“功能原理”中既提动能也提势能。
在“动能定理”中包含重力所做的功；在“功能原理”中不包含重力所做的功。
在“动能原理”中所包含的重力对物体所做的功与在“功能原理”中所提到的物体重力势能的变化是对同一物理现象的不同表述。
某些力学问题，既可以用“动能定理”求解，也可以用“功能原理”求解。具体如何选择，往往要根据题意而定。选择恰当，不仅解题便捷，而且不易失误。（注：目前的高三物理课本只讲“动能定理”，但有关功能原理的思想也分布在课文之中了。如果学生的基础不太好，若为减轻负担，也可只学习和应用“动能定理”。）
在运用“动能定理”解题时应当注意：在公式W=△EK中不含势能的变化
(△EP),但是在W中包含着重力做功WG。
在运用“功能原理”解题时应当注意：在公式WF=△E中既含动能的变化也含势能的变化，即△E=△EK+△EP，但是在WF中不包含重力做功WG。（注：也不包括重力分解出的下滑分力做功！）
总之必须明确：W与WF的区别；△EK与△E的区别。
二.学海导航
【思维基础】
例题1.如图5—10所示：质量为m的物体沿着光滑的斜面由A处滑到B处。物体通过A处时的速度为vA、高度为hA;物体通过B处时的速度为vB、高度为hB。则在此过程中重力对物体所做的功WG为：
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(A)
(B)
(C)
(D)
答：[ ]
思维基础：这是一个检查学生对概念规律的理解和应用能力的选择题，需掌握下列知识：
1.功的定义及其计算式。
2.“重力对物体做功”与“物体重力势能变化”的关系。
3.“动能定理”的物理意义及其应用。
4.建议：请学生阅读前面“教法建议”的内容后，参考其推理方法，先不看本题后面的解题思路和答案，自己进行解答，然后再进行核对，将会有较大的收获。
解题思路：在本题中物体只受重力和斜面的支持力(弹力)，又因斜面的支持力与物体的位移垂直而不做功，所以与解答本题无直接关系（因而在图中也未画出），因此只考虑重力做功与物体机械能的变化就可以了。
根据功的定义及其计算式，在本题中F=mg，代入可得：
根据数学中的三角函数知识，可知在本题中，代入可得：
(附：若将mg分解出下滑分力, 然后据
，亦可得出同样结果。而重力的另一正压分力
因与位移垂直不做功，只是与斜面支持力平衡，使物体在垂直于斜面方向保持
)
根据“重力对物体做功等于物体重力势能的变化”(当重力对物体做正功时，物体的重力势能减少)，可以写出下式：
答案：[A、B、C、D]
解题后的思考：
1.你想到了本题的四个答案都是正确的吗？这四个答案之间有什么联系？
2.你能够运用功的计算式、匀变速运动公式及数学中的三角函数知识等推导出(C)、(D)两个答案吗？
3.如果在本题中斜面是不光滑的（物体与斜面间存在着摩擦力f），那么(A)、(B)、(C)、(D)四个答案中哪些是正确的？哪些答案是不正确的？
【学法指要】
例题2.原来以7米/秒速度在水平轨道上直线行驶着的火车，在关闭气门停止动力后，滑行100米，车速减为5米/秒。问：继续滑行100米，车速将减为多少？（火车在滑行过程中阻力始终保持不变。）
启发性问题：
1.火车在滑行过程中处于何种做功状态？
2.你打算用什么物理规律解答本题？
3.你会用图示法分析物理问题吗？
分析与说明：
1.在本题中，火车滑行时已停止了动力作用，所以只存在运动着的火车克服阻力做功火车将减速运动。
2.解答本题可有几种不同方法，但是对于学过“动能定理”的学生，往往想到使用这个规律。
3.我们以本题为例，用图示法进行分析，如图5—11所示。
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在本题中，已知v0=7米/秒，v1=5米/秒，sⅠ=sⅡ =100米。求：v2=?
求解过程：
根据“动能定理”，我们可以写出下列展开式：
在本题中=0、
=fsⅠ和W阻=fsⅡ、设火车的质量为m，则：
对于sⅠ段可以写出下式：
0－fsⅠ= ①
对于sⅡ段可以写出下式：
0－fsⅡ= ②
在①、②两式中，已知sⅠ=sⅡ，所以两式的左方相等，因此两式的右方也应相等：
＝
消去等式两边的可得
将v1＝7米/秒、v0=5米/秒代入上式可得：
答：火车继续滑行100米(即火车一共滑行了200米)车速将减为1米/秒。
解题后的思考：
1.你还能想到用其它规律解答本题的方法吗？
2.在本题中若不再施动力，火车一共滑行多远就会停住？（提示：设总滑行距离为s，再列出，与前面列出的①式解联立方程就可得答案。答案：s≈204。）
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【思维体操】
例题3.如图5—12所示：一辆车通过一根跨过滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体。绳的P端拴在车后的挂钩、Q端拴在的物体上。设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计。
开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C，设A到B的距离也是H，车过B点时的速度为vB。求：在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。
“准备活动”(解题所需的知识与技能)
1.在本题中，由于汽车是加速运动，所以被提拉的物体也应是加速上升──这表明物体的动能和重力势能都增加了。
2.根据“功能原理”就可以求出绳的拉力对物体所做的功WF。(注：因为本题只要求绳的拉力对物体所做的功，所以就不必考虑汽车在运动过程中的牵引力和阻力等问题了。)
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3.根据数学的分析可知：物体上升的高度h=DO－DP。若设∠DOP=θ，则。已知DP=H，且OP=BA=H，所以△DOP为等腰直角三角形，因此θ=45°
4.如图5—13所示：汽车的速度vB是水平方向的，而此时物体上升的速度应等于vB在沿着绳子DO方向的分速v。(注：图中虚线表示绳子在DO位置的方向。另一分速v¢与绳子垂直将使绳子继续改变倾斜程度。)根据三角函数知识可以写出：v=vBcosθ 。
“体操表演”（解题的过程）
设：汽车开到B处时，物体上升的即时速度为v、上升的高度为h，据前面“准备活动”的分析，可以写下列二式：
则：根据：“功能原理”，并将①、②两式代入进行推导，就可求出绳Q端拉力对物体做的功WF，具体过程如下：（注：物体的初速为零，初高定为零）
“整理运动”（解题后的思考）
1.在本题的做功过程中，物体受到的是恒力还是变力？物体是匀加速上升还是变加速上升？
2.请你用“动能定理”再将本题解答一次，并进行比较──你喜欢用哪种方法求解。
三.智能显示
【心中有数】
1.功和能的关系：各种不同形式的能可以通过做功来转化，能转化的多少通过功来量度，即功是能转化的量度。
2.动能定理：合力的功等于物体动能的增量，表达式为:W合=。
应用动能定理解题步骤：
(1)分析物体的受力情况和运动情况；
(2)分析各个力对物体做功的情况，计算时要把各已知功的正负号代入分式进行运算，若是未知功，则用代号W代入。
(3) 变力(大小或方向改变)的功不要直接用W=Fscosθ来求，可以应用动能定理来求。在公式中变力的功只能用代号W表示。
(4)如果物体运动有几个过程时，可以分段运用动能定理，也可以对全过程运用动能定理，即各个力做功的代数和等于物体动能的增量：
W1+W2+……Wn=
【动脑动手】
(一).选择题
1.关于做功和物体动能变化的关系，下列说法中正确的是
A.只有动力对物体做功，物体的动能一定增加
B.只有物体克服阻力做功，物体的动能一定减少
C.外力对物体做功的代数和等于物体末动能与初动能之差。
D.动力和阻力都对物体做功，物体的动能一定变化
2.下面关于物体所受的合外力、合外力做功和物体动能变化的说法中正确的是
A.如果物体所受的合外力为零，合外力对物体做的功一定为零
B.如果合外力对物体做的功为零，合外力一定为零
C.如果物体的动能不变，所受的合外力一定为零
D.如果物体的动能不变，合外力对物体做的功一定为零
3.质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能
A.与它通过的位移成正比
B.与它通过位移的平方成正比
C.与它运动的时间成正比
D.与它运动时间的平方成正比
4.一颗子弹以水平速率v射入固定的木块中，射入深度为s，设子弹在木块中所受阻力是恒定的。当子弹以的水平速度射入固定的木块中，射入深度为
A.s B. C.
D.
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5.质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，如图5—14所示，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点缓慢地移到Q点，OQ与OP间的夹角为α，则力F所做的功为
A.
B.
C.
D.
6.两个物体的质量分别为m1和m2，已知m1=4m2，当它们以相同的初动能在动摩擦因数相同的水平面上运动时，它们的滑行距离之比和滑行时间之比分别为
A.s1∶s2=1∶2, t1∶t2=2∶1
B.s1∶s2=4∶1, t1∶t2=1∶2
C.s1∶s2=2∶1, t1∶t2=4∶1
D.s1∶s2=1∶4, t1∶t2=1∶2
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7.如图5—15所示，质量为m的物体被用细绳经过光滑小孔而牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动。当拉力为F时转动半径为R。若拉力逐渐减小到时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R。那么在半径从R增加到2R的过程中，外力对物体所做的功的大小是
A. B.3FR C.
D.零
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8. 如图5—16所示，质量为m的物体在光滑水平桌面上处于静止状态，系在物体上轻绳跨过光滑的定滑轮，另一端由地面上以速度v0向右匀速走动的人拉着，人从桌子的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此过程中人所做的功为
A.
B.m
C.
D.
9.如图5—17所示，木板长为l，在板的B端放有质量为m的小物体P，物体与木板间的动摩擦因数为μ。开始时木板水平，若以A端为轴让木板缓慢转过一个小角度α，物体保持与木板相对静止，在这个过程中
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A.摩擦力对物体做功为
B.摩擦力对物体做功为
C.弹力对物体做功为
D.木板对物体做功为
10.质量为10kg的物体以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起在物体上作用一个向右的水平力，经过一段时间，物体的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力做的功为
A.0 B.8J C.16J D.32J
11.在水平面上有一质量为m的物体，受到水平力F的作用从静止开始运动，通过距离s撤去力F，这以后又通过距离s停止下来，则在这个过程中
A.它所受的摩擦力大小为F
B.它所受的摩擦力大小为
C.力F对物体做的功为Fs
D.力F对物体做的功为零
12.被竖直上抛物体的初速度与回到抛出点时速度大小之比为k，空气阻力在物体运动过程中大小不变，则重力与空气阻力的大小之比等于
A. B.
C.k D.
13.两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1∶m2=1∶2，速度之比v1∶v2=2∶1。当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为s1，乙车滑行的最大距离为s2。设两车与路面间的动摩擦因数相同，不计空气阻力，则
A.s1∶s2=1∶2,
B.s1∶s2=1∶1,
C.s1∶s2=2∶1,
D.s1∶s2=4∶1
14.汽车拉着拖车在平直的公路上匀速行驶，拖车与汽车突然脱钩，而汽车的牵引力不变，各自受的阻力不变，在拖车停止前
A.它们的总动能不变
B.它们的总动能增加
C.它们的总动量不变
D.它们的总动量增加
15.质量为m的汽车在平直公路上以速度v0开始加速行驶，经过时间t，前进距离s后，速度达到最大值vm。设在这一过程中汽车发动机的功率恒为p0，汽车所受的阻力恒为f0。在这段时间内汽车发动机所做的功为
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A.p0f B.f0vmt C.f0s D.
16.如图5—18所示，一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一质量为m的物体，物体与转台轴心o间用长为l的细绳相连，此时物体与转台处于相对静止。设物体与转台间的动摩擦因数为μ。现突然使转台停止转动，则
A.物体在转台上运动一周的过程中，摩擦力对物体做功为零
B.物体在转台上运动一周的过程中，产生的热量为
C.物体在转台上运动直至停止的过程中转化的内能为
D.物体在转台上通过的总路程为
(二).填空题
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17.如图5—19所示，一个质量为m的物体静止在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，在跟水平方向成α角的拉力F作用下物体移动距离s时的速度是 .
18.一颗子弹以700m/s的水平速度射入一块固定不动的木板,射出后的速度变为500m/s,设木板对子弹的阻力恒定不变,则这颗子弹还再射穿 块同样固定的木板。
19.一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为15m的斜坡下滑，到达底部时速度为10m/s。已知人和雪橇的总质量为80kg，g取10m/s2。下滑过程中克服阻力做的功是
20.如图5—20所示，质量为m的物体，从弧形面底端A点以速度v0往上滑行，达到某一高度后，又沿原路返回，且继续沿水平面滑行至B点而停止。在整个过程中物体克服摩擦力做的功是 。
21.质量为m的小球，以初速度v0从倾角为θ的斜面底端向上滑行，上滑的最大距离为s，则小球滑回到原出发点时的动能为 。
22.一个单摆小球的质量为m，摆球经过最低点时的速度为v0，由于摆球受到大小不变的空气阻力f作用而最终静止。则摆球通过的最大路程是 。
23.如图5—21所示，物体A放在倾角为θ的斜面上，向下轻轻一推，它刚好能匀速下滑，若给该物体一个沿斜面向上的初速度v0，则它上滑的最大路程是 。
24.某地强风的风速为v=20m/s，设空气密度为ρ=1.3kg/m3。如果把通过横截面积为s=20m2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式应为P= ，大小约为 瓦。（取一位有效数字）
（三）.计算题
25.一个质点在一个恒力F作用下由静止开始运动，速度达到v，然后换成一个方向相反、大小为3F的恒力作用，经过一段时间后，质点回到出发点。求质点回到出发点时速度的大小是多少？
26.某人在高为h处水平地抛出一个质量为m的物体，物体落地点与抛出点水平距离为s。求抛球时人对球所做的功是多少？
27.一列火车的质量是5.0×105kg，在平直的轨道上以额定功率3.0×103kw加速行驶。当速度由10m/s加速到所能达到的最大速度30m/s时，共用了2min。求在这段时间内列车前进的距离是多少？
28.总质量为M的带拖斗的汽车，沿水平直公路匀速前进，质量为m的拖车中途脱钩，司机发觉时，汽车已行驶l的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设运动的阻力与重力成正比，汽车的牵引力是恒定的。当汽车和拖车部分都停止时，它们的距离是多少？
29.如图5—22所示，在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间的距离大于l（l比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于l时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动。欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件？
【创新园地】
30.初速度为v1、质量为m的物体，从倾角为α的光滑斜面自由滑下，到达斜面底端的速度为v2。试利用这一过程，应用牛顿定律和运动学公式推导出动能定理。
31.如图5—23所示，质量为m的小木块A放在质量为M的木板B的左端，B在水平拉力的作用下沿水平地面匀速向右滑动，且A、B相对静止。某时刻撤去水平拉力，经过一段时间，B在地面上滑行了一段距离x，A在B上向右滑行了一段距离L，最后A和B都停止，A、B间的动摩擦因数为μ1,B与地面间的动摩擦因数为μ2。且μ1＞μ2 ,求x的表达式.