授课类型 ：数学应用的实践课
教学模式：导学探索，自主解决
授课班级：高一（10）班
授课时间：2000年5月2日
教学目的：通过磁带引发的一系列数学问题，使学生体会和了解方程、函数等数学知识在生活中应用；培养学生学数学、用数学的应用意识和能力。求解过程中通过计算器和千分尺的使用，培养学生动手、动脑和使用工具的实践能力。同时也是我校将图形计算器用于学生自主解决应用问题的一次实验。
教学准备：60分钟的标准磁带的实物10盒，外径千分尺10个，图形计算器20台，ppt程序。卷尺一个。要求学生带刻度尺。
教学设计：
1．1 ：由教师先提出以下问题：
{问题1}：一盘60分钟的普通录音磁带有多长？
请同学们观察磁带样品，寻求解决问题的模型与方案。
1．2：组织学生课堂讨论，交流求解的方案：
备考：（1）设法直接测量带长L与单层带厚d；
（2）设法直接计算L与d；
（3）设法测量L，而去计算d；
4）设法测量d，而去直接计算L。
留意点：请提“算”的同学给出算法，请提“测”的同学给出实际可行的测量方案。
建模要点：
先将磁带全绕在一边（如左侧），测出图-1中的R与r。（实测约为R=24.5mm，r=11mm）把磁带所在的左盘的俯视图看成是一个圆环，把它想象成是由一条长为L（磁带长）宽为d（磁带的单层厚）的“细长矩形”环绕填充而成，
因此有：
（f-0）可以用这个公式测一个量，算一个量。也可以用等差数列，等速螺旋线等较复杂的计算模型。
1．3 ：建议学生使用提供的工具：千分尺或录音机。
留意点：怎样减少测量误差？
1．4：交流测算结果：
备考：大致上磁带的厚度在0.0165到0.0200(mm)之间，60分钟磁带（如sorry）的工业标准在90米左右。
1．5：问题与结论的一般化：
把“磁带求长”的问题一般化，解决“怎样求成卷材料的长度？”这个问题。待求长的对象可以是纸卷、布卷，油毡卷，成卷的金属材料等，请学生先讨论一下求解的方案。
备考：①先测材料的单层厚度d，然后用： 来求其长。使用这种求长模型应注意的条件：材料应缠绕的均匀、密实，且d比起L来小的多（不然计算误差比较大）。②物理模型：先称出单位长度的待测长材料的重量（得到的是密度）
，再称出待测长材料的总重量（扣除卷芯的重量）
，于是：
（长度单位）。使用这个求解模型的利弊：它不要求卷材绕的是否密实，也对d的大小及截面的形状没有限制，但它要求材料的质量分布应是均匀的。
1．6 应用已有的求解模型并观察学生怎样提出问题。
请每一个同学编一个实际问题，来用一用刚才提到的“卷材求长”的方法，让部分学生介绍自己的问题。留意点：注意不同学生思维的特点，记录之：留意学生的“好问题”生成当日作业）。备考：学生们可能提出的问题有：
①求45分钟、90分钟、120分钟磁带的长。（简单类比思维）
②求120分钟录像带的长。（简单类比思维，稍有迁移）
③求一个纸卷（内半径，r=2cm，外半径R=20cm）纸的长。（简单类比思维，特殊化）
④求磁带全绕于左侧时的磁带的匝数（逆向应用）
⑤求磁带在放音时通过磁头的线速度V0（逆向应用）
⑥求一轴线的线长。（发散，变维数的思考）
2．1
问题2] 在录音机上你能发现什么函数关系吗？你还能提出什么数学问题？
如果学生感到“茫然”，教师再把问题具体化：
[问题3] 取一盘磁带，观察当磁带全绕在一边（如左轮）时，磁带的边缘与另一轮边缘之间的最短距离是多少毫米？在放音过程中，这个距离会变化吗？若变化是变大还是变小？（请试验观察之）要使得在放音的任何时刻两轮磁带的外缘互不接触，两轮轴间的最小距离最少应为多少毫米？最多能放多少米长的磁带？
[问题4] 以学校的PHILIPS录音机为观察对象，观察录音机的计数器中的数字k与放音时间t之间的关系。t是k的正比例（或线性）函数吗？你能根据你的观测数据求出一个
t=f（k）型的近似公式吗？磁带A上有一首长的7’30’’歌曲，要将它转录在另一盘磁带B上，起始位置的计数显示是k=100，问转录歌曲结束时，应在k=？时停机？
2．2 观察ppt中的录像资料，让学生自主选题讨论求解（学生活动，两三人一组进行）
建模要点：在放音初期，受带轮转的快，供带轮的慢，故大盘变“瘦”的速度小于小盘变“胖”的速度，因此两盘空隙渐渐变小；而放音后期正好相反，故知当磁带走至全长的一半时，两盘间隙最小，此时两轮的外半径均为m，此时由左右两轮磁带缠绕所形成得圆环面积相等得到：得
，要使两轮外缘互不接触，两轮轴中心间距D只须满足D>2m=
。带入实际数据计算2m约得37.3mm：实际磁带盒的轴间距约为42.5mm，最小缝隙约为5mm，最大的新增载带的容量约为34~40米。
2．3 由于时间关系，教师直接提供京产“PHILIPS收录机”的如下实验数据：
| 记数器的读数k | 0 | 60 | 124.5 | 194.5 | 272 | 361.5 | 468 |
| 放音时间t（分） | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
2．4 引导学生用图形计算器，观察数据分布，寻求拟合函数。（学生结果到讲台交流）
留意点：数据分布是直线吗？能用直线拟合吗？若能用，选怎样的直线？鼓励选择不同的拟合函数，对拟合误差不做深究，留做下次课的课题。
技术备考：
（1）线性近似公式：t=ak+b它形式简单，但不能同时过六个点，一个容易想到得“妥协”方案是让线形函数过其中的两点（比如B、E），使直线两边有比较均匀的点分布。如图-2所示，将B(361.5，25)和E(124.5，10)代入t=ak+b，得：
t=f1(k)=0.0632911k+2.1202532 （f-1）
（2）抛物线型近似公式：（因为抛物线过原点，故常数项为0）：
将某两点，比如E，F的坐标代入上式，可得如下拟合公式：
（f-2）
（3）幂函数型近似公式：；利用某三点，比如O，A，F 点的坐标定出a，b，c，可以得到如下的拟合公式：
（f-3）
（4）对数型近似公式：；利用某三点，比如O，A，F的坐标可以定出a，b，c，从而得到以下的拟合公式：
（f-4）
………
例如 我们以用(f-2)（来解决问题（3）：先取k=100，计算：f2(100)=8.14654（分）=8’19”；
8’19”+7’30”=15’38”=15.65（分）；
令
解此一元二次方程得：k1≈204，k2≈1640（不合题意，舍去）。
故知当该录音机的记数器记数为204时停机可以转录完该乐曲。
技术备考：图形计算器上可以直接得到用最小二乘法求最佳线性拟合公式，相应可以得到t=f(k)=0.064315k+1.39730（f-5）和抛物线公式： （f-6）
这两个拟合公式。它们相应的s，在同类函数中是最小的。但它的图象并不全通过A，B ，C，D，E，F，O点，而只是让这些点很均匀地分布在拟合函数的两侧。
其中 这里(kn，tn)分别是A，B，C，D，E，F，O点的坐标，n=1,2,3,4,5,6,7显然，s=0时f(k)完全通过点A，B，C，D，E，F，O。可以认为s的值越小，公式t=f(k)对已知数据的拟合程度就越好，（但插值的效果不一定最好）。另外上面各个拟合公式的误差如表所示：
| 实测数据k | 60 | 124.5 | 194.5 | 272 | 361.5 | 468 | s |
| 实测数据t | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | |
| t=f1(k) | 5.918 | 10 | 14.430 | 19.335 | 25 | 31.740 | 9.133 |
| t=f2(k) | 5 | 10 | 14.987 | 19.974 | 25.035 | 30.083 | 0.009 |
| t=f3(k) | 5 | 9.451 | 13.948 | 18.687 | 23.950 | 30 | 4.234 |
| t=f4(k) | 5 | 10 | 15.046 | 20.254 | 25.778 | 31.843 | 4.056 |
3．1 小结：数学在我们身边，怎样生长出发现问题的“慧眼”？图形计算器可以帮助我们快速解决问题，怎样把它用好？
3．2 你还能拓广“磁带问题”，提出新的应用数学小课题吗？（变维、变对象的思考方式）
3．3 课后实践课题：
1．尽量选择学生提出的问题——（待定）
2．（备选）：校门外正赶上电力线路施工，路边堆放着不少如左图所示的电缆轴架。根据图中的实测数据，单根电缆的直径为7cm，请你计算出这样的一轴电缆的长度是多少米？又如果电缆架有如右图的比例关系（b为待定常数），现希望在一个轴架上装载外径为d=4cm的电缆1000米。请你由此定出相应较小的b（精确到1cm），使得轴架的制作尽可能的节省材料。
摘自北京大学附属中学