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    • 几何画板应用案例探微

    日期：2003-10-01  地址：  作者：
    　　

    内容摘要：本文通过对几何画板在数学课堂教学中的应用案例的分析,展现在用几何画板进行辅助教学的特有的优势.充分体现数学源于实践,源于生活;充分体现“以学生发展为本”;具体实现“数学是数学活动的教学”;深入理解“数学的实质内涵”等等.文中还提出了开展计算机辅助教学的有待研究的问题.

    　 关健词：以学生发展为本 数学的实质内涵 数学实验 课件制作

    笔者认为,计算机辅助教学,只有一线教师广泛地应用到自己的课堂教学中去,才真正地有意义.一个好的教学案例肯定胜过“在摇摆的椅子上杜撰出来的事实”.

    下面通过对几何画板在数学课堂教学中应用的案例来观察课堂,反思教学实践.

    　 案例1 运动的活塞

    　 这是我校刘志学老师的案例,是解斜三角形应用举例一节课的第二个例题,例题是这样的:

    　 例2.如图1-1是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄CB绕C点旋转时,通过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A0处.设连杆AB长为340mm,曲柄CB长为85mm,曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°,求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)(精确到1mm).


    　 刘志学老师是一位有丰富教学经验的教师.自从他讲授新教材以来,他一直考虑如何改进自己的教学,以适应新教材的要求,更好地促进学生的发展.

    　 利用正弦定理和余弦定理解斜三角形这部分内容原来在初中学习,实行九年制义务教育以后上调到了高中学习.由于这部分内容多为实际问题,数值计算比较复杂,课堂教学和考试中又不使用计算器,在以往的教学中往往得不到应有的重视.

    　 刘志学老师为这节课准备了三道例题,例一是自动卸货车的液压机构问题, 例二是活塞问题, 例三是测量底部不能到达的电视塔的高度的问题.他先用扫描仪将与例题有关的背景图片扫了下来,对于例题2,为了让学生理解活塞的工作原理,根据教学设计,笔者又用几何画板做了一个能够演示活塞运动的课件.

    上课时采用了录像来记录、分析课堂教学情况.上课所在的班学生的成绩普遍较好,学生在课堂上表现出了很高的参与的热情,学生在回答教师提问时用不着教师点名,都是学生主动地站起来回答.

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    　 讲解例题2时,刘志学老师先向学生介绍了活塞在发动机中的工作背景,然后用几何画板课件演示了活塞的运动,这时学生们表现的非常兴奋.演示完之后,一个叫李超的女同学站起来分析了问题,将实际问题转化成了解三角形这样的纯数学问题,然后全班同学又各自解三角形.一会儿,坐在教室后面角落里的一名男同学宣布他找到了问题的算法,只是最后的计算比较复杂,没有算出具体结果.这时刘志学老师打开几何画板,用里面的计算器,计算出了最后的结果.下面是例题的计算过程,图1-2是课件的


    演示情况.

    解: 在DABC中,由正弦定理可得sinA= EQ F(BCsinC,AB) = EQ F(BCsinC,AB) = EQ F(85´sin80°,340) = 0.2462

    　 因为 BC<AB, 所以A为锐角, 得A=14°15¢.

    　 ∴　 B =180°-(A+C) =180°-( 14°15¢ + 80°) = 85°45¢.

    　 由正弦定理, 可得 AC = EQ F(ABsinB,sinC)= EQ F(340´sin85°45¢,0.9848) = 344.3mm.

    　 因此, A0A = A0C- AC = ( AB+ BC) - AC =(340+85)-344.3 = 80.7 » 81(mm).

    　 答: 活塞移动的距离约为81mm.

    建议讨论的问题

    　 1.数学问题:在解决实际问题时,为什么“翻译(转化)”在数学理解和解决问题方面是重要的?怎样解释活塞的运动是一个简谐振动?

    　 2.评价学生的思维:学生在解决实际问题时常见的思维障碍是什么?;计算机的演示会对学生理解问题有哪些帮助?

    　 3.教学法问题:计算器的使用对那些“思路自然但运算很繁”的问题的解决无疑是有帮助的,你赞成课堂中使用计算器吗?计算机演示对教师和学生之间的交流有什么帮助?

    　 4.背景问题:从课堂教学中学生发言时不举手是否说明学生精神的放松,建立宽松的课堂文化对学生的学习会有多大的作用?

    　 5.课件的评价:数学源于实践,源于生活.通过电脑的演示,学生对这类问题的态度会由原来的冷漠转变为亲切吗?请给课件打分.

    　 案例2 多姿多彩的图象变换

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    　 这是我校郑玉亮老师的案例.郑玉亮老师毕业以后教了几年初中数学,有教初中毕业班的经验,目前有5年在高中任教的经历,两次教高中毕业班.

    　 函数 y =Asin(w x+j)的图象一节内容已经上了一课时,第二课时主要的问题是用五点法画函数 y = 3sin(2 x+ EQ F(p,3) )的图象,并由此总结出由函数 y =sinx的图象到函数y = Asin(w x+j)的图象的变化规律,这样就必然涉及到大量的图象,在以往的教学中对这个问题的处理总是不能达到很好的效果,于是采用计算机辅助教学就成为必然的选择.郑玉亮老师在网上找到了几个有关的课件,发现都是严格按照课本上给出的方式进行演示,而这样并不一定符合学生的思维习惯,郑玉亮老师就课件制作的问题与笔者进行了探讨.

    　 我们认为,计算机辅助教学必须充分体现“以学生发展为本”.以学生为主体,让学生积极参与,自行探索,获得亲身体验,对数学的概念和内涵有更为深入的理解,从而达到可持续发展的要求.

    　 仍然采用录像对课堂教学进行分析,对将函数 y =sinx的图象经过怎样的变换得到函数 y =Asin(w x+j)的图象,课堂上学生经过,提出了只需三个步骤,共六种变换方式,以函数 y =sinx的图象变换到函数 y =Asin(w x+j)的图象的步骤为例,分别是:



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    以上变换分别如图2-1—图2-6表示.


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    　 对学生在学习过程中出现的错误情况,郑玉亮老师先是让学生充分地说出自己的理由,并让学生找证据为自己的结论进行辩护,然后用几何画板演示如果按照学生的思路去进行变换,将会得到怎样的结果.通过电脑的演示,让学生在错误的结果与正确的结果之间进行比较,转变了学生的思维.如图2-7所示.


    建议讨论的问题

    　 1.数学问题:点(x , y)在函数 y =sinx的图象上,则点( EQ F(1,2) (x- EQ F(p,3) ), 3 y)在函数y =f (x)的图象上,写出函数y =f (x)的解析式.

    　 2.评价学生的思维:学生在猜想、讨论时思维的广阔性是否得到了培养,电脑演示对学生的思维活动起了怎样的促进作用?

    　 3.教学法问题: 函数 y =Asin(w x+j)的图象的教学中,与过去一支粉笔一块黑板相比,现在的计算机辅助教学除了增大教学容量外,还体现了“以学生发展为本”.学生出错的思维机制怎样转变.

    　 4.背景问题:郑玉亮老师在课堂上并没有完全按照课本上的顺序进行教学,而是按照学生讨论的情况进行教学,这体现了郑玉亮老师怎能样的教学思想?

    5.课件的评价:借助计算机技术,在课堂教学中,很容易地得到丰富的函数图象.这样,学生就很容易通过自己的参与 、探索与归纳,深刻理解A、w、j 这三个系数对函

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    数y =Asin(w x+j)的图象的影响,大大地增加了教学容量,活跃了课堂气氛,提高了教学效率,为进一步研究其他函数图象的性质,打下了坚实的基础,学生的主体地位得到了较好的体现. “以学生发展为本”是我们进行课件设计时的重要指导思想.给本课件打分.

    　 案例3 命题人的思路

    (1999年高考题) 设复数z＝3cosθ ＋i·2sinθ , y=θ-argz (0<θ< EQ F(p,2) ),求函数的最大

    值以及对应的θ值.

    解：由0＜ θ＜ EQ F(p,2) 得tanθ ＞0.由z=3cosθ+i·2sinθ,得0＜argz＜ EQ F(p,2) 及

    tan(argz)= EQ F(2sinθ,3cosθ) = EQ F(2,3) tanθ.

    故tany=tan(θ-argz)=EQ F(tanθ- EQ F(2,3) tanθ,1+ EQ F(2,3) tan2θ)= EQ F(1, EQ F(3, tanθ) +2tanθ)

    ∵ EQ F(3, tanθ) + 2tanθ≥2 EQ R(,6) 　　

    ∴ EQ F(1, EQ F(3, tanθ) +2tanθ) ≤ EQ F( EQ R(,6) ,12) 当且仅当 EQ F(3, tanθ) = 2tanθ(0<θ<EQ F(p,2) 时，即tanθ = EQ F( EQ R(,6),2)

    时，上式取等号.
    ∴当θ=arctan EQ F(EQ R(,6) ,2) 时，函数tg y取最大值 EQ F(EQ R(,6) ,12) .
    由y=θ - arg z得y Î( EQ F(p,2) ， EQ F(p,2) ).由于在( EQ F(p,2) ， EQ F(p,2) )内因正切函数是递增函数，函数

    y也取最大值arctan EQ F(EQ R(,6) ,12) .

    　 这是笔者的教学案例.此题由于符合高考命题组所宣称的在“知识的交汇点”处设计试题而名声大燥,是考能力的好题.从解答的过程来看,本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识,考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.

    　 看似简单的题目,解答起来却机关重重,一些学生在老师讲解之后仍一脸茫然.利用几何画板,可以很好地理解这个问题的内涵实质.

    考虑椭圆 EQ F(x2,9) + EQ F(y2,4) =1的

    参数方程:

    如图3-1所示,易知

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    q = Ð xOA, arg z = Ð xOM.

    所以 y = θ-arg z = Ð xOA- Ð xOM. 当 q =0和 EQ F(p,2) 时, Ð xOA = Ð xOM,当

    0< q < EQ F(p,2) 时, Ð xOA > Ð xOM.

    　 当 q Î[ 0, EQ F(p,2) ]时, y = θ-argz = Ð xOA- Ð xOM的值经历了先增大后减小的过程.

    　 于是当 q Î[ 0, EQ F(p,2) ]时, y = θ-argz = Ð xOA- Ð xOM一定有最大值.图3-1正是用几何画板演示当 y取得最大值时刻的情形.

    　 当用几何板演示以后,很多学生恍然大悟.噢!原来命题人是这样想的.

    　 建议讨论的问题

    　 1.数学问题:找出几个有几何背景代数问题并解答,比如1986年高考题中求最大角的问题.

    　 2.评价学生的思维:通过电脑演示,可揭示代数问题的几何背景,这样能帮助学生的思维在反思中得到升华吗?

    　 3.教学法问题:传统的教学方法面对类似的问题时是怎样处理的?

    　 4.背景问题:许多数学概念和数学思想都是在“运动”的情景中表现出来的,借助几何画板,在探索数学概念、论证数学事实以及解决数学问题的过程中,学生可以运用动态方法,通过动与静的不同方式、宏观与微观的不同视角,尤其是在数学事实与其他学科、现实背景的紧密联系中,树立更为全面的、正确的数学观.

    　 联系数学史对上面的问题进行讨论.

    　 5.课件的评价:通过电脑的演示,使学生更深入地理解了问题的内涵实质,并反作用于学生的思维,形成新的思维结构.

    　 案例4 给我一个证据

    　 这是笔者的教学案例.在一份由邓其胜命题、潘立东审校的2002年高考数学第二轮复习模拟试卷(五)中有一道选择题:

    圆柱的高是2,底面半径是1,被平面截成形状相同的两个几何体,如图所示,将实体部分的侧面展开,则侧面展开图是(　 ).


    　 此题的正确答案是B.电脑阅卷表明此题的各个选项都有不少的支持者,问选对答案的学生是怎样作出来的,齐声回答:猜的.

    　 这个问题的确不容易解答.事实上,我们知道圆柱截面的形状是椭圆,这个椭圆在

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    侧面展开图中是什么形状就是我们要解决的问题.笔者先在家里用刀切了一棵大葱,剥开一层皮铺开,发现截面的形状是选项B的样子.上课时又在学校的食堂里要了一根粗细均匀的黄瓜,用纸裹上.用刀斜着切开,再把纸展开,发现展开图是选项B的样子.这样通过用实物做实验的方法,让学生明白了正确答案应该是选项B.但却不能使学生心服口服,学生们自有理由,总不能让我在考场上用大葱和黄瓜做实验吧.由于还有不少其它问题,这个小题就只能带着遗憾过去了.不过我答应学生课下给他们一个充分的证据,并用几何画板给学生演示出来.同时提示学生重新观察图象,图象的高等于圆柱的高,图象如果是三角函数图象,则它的一个周期正好等于圆柱底面周长.

    　 如图4-3,图4-4所示,设圆柱的底面半径为r,截面与底面所成的角为q .设P 为截面上任意一点, M在底面圆周上, PM 垂直于底面.在底面圆周上,设O1A 为始边,O1M为终边,M从A开始逆时针旋转所成的ÐAO1M 所对的弧的弧长为x,得到MP的长度为MP = rtanq (sin( EQ F(x,r) - EQ F(p,2) ) + 1).

    　 以x为横坐标, rtanq (sin( EQ F(x,r) - EQ F(p,2) ) + 1)为纵坐标,采用弧度制,绘出点Q , 则点P在截面的椭圆上运动时,点Q的轨迹就可以得到了.


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    建议讨论的问题

    　 1.数学问题:结合选项A编制一个问题.

    　 2:评价学生的思维:学生猜答案时的思维是直觉的而非逻辑的,为什么学生对用实物做实验得出的结论不那么心服口服?

    3:教学法问题:课堂上对这道选择题好像没讲的彻底明白,但却为课下的继续研究打下了基础.

    　 4:背景问题:教师利用好现代技术进行教学可以改善教和学生的学的方式,这不仅可以提高教学效率,还可以和学生建立一种融洽的关系.

    　 5:课件的评价:利用几何画板动态测量、跟踪轨迹和快速作图功能进行数学实验,使学生体会到做数学的乐趣.

    　 关于课件制作的注记

    　 笔者是计算机辅助教学的积极的探索者,能熟练地使用几种软件进行计算机辅助教学,也自已制作了一定数量的课件.经常就计算机技术与数学学科教学的整合反思自己的教学实践.现就计算机辅助教学的案例研究提出一些问题供大家参考.

    　 1.课件制作的理论依据的研究案例(从数学教学理论、行为主义学习理论、认知学习理论、建构主义学习理论等多方面寻找理论依据).

    　2.计算机技术支持下的数学学习策略的教学案例

    　 3.数学实验教学的案例分析.

    　 4.如何解决计算机作图的“快”与学生的思维的“慢”的矛盾.

    　 5.计算机辅助教学中直观与抽象的关系.

    　 6.计算机辅助教学的课堂文化建设.

    　 参考文献

    　 1.唐瑞芬,朱成杰.数学教学理论选讲.华东师范大学出版社.

    　 2.鲍建生等译.教学的窗口:中学数学教学案例集.上海教育出版社.

    　


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