《几何画板》是全国中小学计算机教育研究中心推荐的适合中学数学教师使用的计算机辅助教学软件，我不仅在数学教学中使用这个软件改进数学教学，还用它做“数学实验”。
一、《几何画板》简介
《几何画板》，顾名思义是“画板”，能画各种欧几里德几何图形；能画出解析几何中的所有二次曲线；也能画出任意一个初等函数的图象（给出表达式）。不仅如此，还能够对所有画出的图形、图象进行各种“变换”，如平移、旋转、缩放、反射等。《几何画板》还提供了“测量”、“计算”等功能，能够对所作出的对象进行度量，如线段的长度、弧长、角度、面积等等，并把结果动态地显示在屏幕上。《几何画板》所作出的几何图形是动态的，可以在变动的状态下，保持不变的几何关系，比如，无论您拖动三角形的一个顶点怎么移动，任意一边上的高总保持与这边垂直。《几何画板》还能对动态的对象进行“跟踪”，并能显示该对象的“轨迹”，如点的轨迹、线的轨迹，形成曲线或包络，而且这种“跟踪”可以是人工的也可以是自动的。《几何画板》能把您认为不必要的对象“隐藏”起来，然后又可以根据需要“显示”出来。《几何画板》还能把您的画图工作制成为“脚本”，减轻您的工作量，如把您画正方体的过程记录下来，以后使用此“脚本”画正方体，只要两、三秒钟。……
二、一个学生的“实验”
这是一道几乎人人皆知的解析几何题：
如图1，B是半径为r的定圆A内的一定点，M 是圆上的一动点，过线段BM的中点E作BM的垂线与半径AM 的交点为P，求P的轨迹。
 |
图1 图2
点P的轨迹显然是一个椭圆，这是因为(r>
)。
一个高一的学生把线段AM改为直线。设AM交圆于另一点N，过BN的中点F，作BN的垂线与线段AN交于Q，发现PQ是过椭圆的焦点A的一条焦点弦（如图2）。设EP、FQ交于点H，“跟踪”H，发现H的轨迹是一条直线，这是椭圆的相应于焦点A的一条准线。于是又发现：
（1）过椭圆的一条焦点弦的两端作椭圆的切线，两切线的交点轨迹是相应于这个焦点的椭圆的准线；反之，过椭圆的准线上的任一点作椭圆的两条切线，两切点的连线必过相应的焦点。
（2）联结BP，∠BPE=∠APH，这说明光源自A射出，经直线PH反射后必经过点B。
（3）取AP的中点K，“跟踪”K，它的轨迹仍是一个椭圆（离心率不变）。
这个学生并未系统地学习过解析几何，只是在《几何画板》的选修课上听老师举过一些例子。由于有了《几何画板》这一现代的先进学习工具，学生的任何“奇思妙想”立即可以进行“实验”，学生的创造性得到发挥，这是以往任何教具所不能实现的效果。
 | |||
 | |||
图3 图4
三、站在学生的“肩”上，继续“实验”
放弃“E是线段BM的中点”这一条件，“奇妙的现象”出现了：当E到M的距离小于点E到B的距离时，点P的轨迹是“鸭蛋”形（如图4）。噢，圆、椭圆都是“规则”图形，圆、椭圆的“中间地带”（也许根本就没有这种提法）是“鸭蛋”形。当您用鼠标缓缓拖动点E向B移动，使E到M的距离大于点E到B的距离时，您一定经历了一次“数学美”的享受，点P的轨迹成了“导弹”形（如图5），您说象不象。
 | |||
 | |||
图5 图6
继续下去，把线段BM换成直线，使点E在MB的延长线上。如图6，成为“心脏线”。若使点E在BM的延长线上。点P的轨迹如图7。
如果这一切是连续进行的，“数学美”、“数学的奇妙”请您慢慢“品尝”。
把“实验”再做下去，如图8，当时，“鸭蛋”形也有“准线”。
把“E是线段BM的中点”这一条件收回，但是放弃“PE垂直于BM”。如使∠PEM=60°，点P的轨迹如图9所示。
还可以再继续“实验”下去，拖动点B，把“点B在圆内”换成“点B在圆外”。
……
 |  | ||
图7 图8 图9
四、“鸭蛋”形、“导弹”形的极坐标方程
“实验”出现的结果，引起我对“鸭蛋”形、“导弹”形曲线方程的思考。
如图8，以A为极点，射线AB为极轴建立极坐标系。设圆A的半径为r,AB=a,BE=qBM,r,a,q为常量。设P（ρ，θ）。则，
，
，其中
以上消去BM与α，得到点P的轨迹极坐标方程为
(*)。
在(*)式中，令a=8,r=10,q=（即E是BM的中点），得到点P的极坐标方程为
，这是一个椭圆的极坐标方程。
在(*)式中，令a=8,r=10,q=，得到点P的极坐标方程为
，这是一个“鸭蛋”形的极坐标方程。
在(*)式中，令a=8,r=10,q=，得到点P的极坐标方程为
，这是一个“导弹”形的极坐标方程。
五、理论上的“发散”
由以上推出的“鸭蛋”形、“导弹”形曲线的极坐标方程不难看出，它们的方程形式是。当 a=0时，是圆锥曲线的极坐标方程，当a≠0时，是圆锥曲线的各种变形。于是又不难提出这样的问题：
所表示的曲线的形状是怎
样的？图10中画出的是所表
示的曲线（“鸭蛋”形瘪下去一块了）。
……
图10
六、《几何画板》万岁
用《几何画板》可以做“数学实验”，使数学教师的备课增添了新的含义，我校许多数学教师用它备课，把它运用于课堂教学（我校高中部的27个教室中，每一个教室都配有奔腾Ⅱ/266电脑、高亮度投影仪、实物投影仪、录像机、功放等全套多媒体教学设备）。在高一年级学生中还开设了《几何画板》选修课，一些学生利用它不仅帮老师制作课件，而且自己已经有了许多“奇妙的发现”。《几何画板》作为一种先进的学习工具，掌握它是掌握一项先进的学习技能。它不仅能帮助学生更准确、深刻地理解数学概念，也能解决数学问题，而且本身就是一个智力开发的工具。他（她）们通过制作立体几何软件——任一平面截正方体都能够用彩色的阴影显示截面的形状（可以动态的），可以极大地促进空间想象能力的培养；在《解析几何》的轨迹问题教学中，用《几何画板》作图的过程就揭示了轨迹形成的原因，有利于抓住问题的本质；同一个数学问题，可以有不同的建模方法，不同的软件制作方法，这又是一次创意、创作、创造的过程。通过前面的例子读者不难看出，由于《几何画板》能够在变动的情况下，反映不变的几何关系——几何结论（定理），《几何画板》就成了一个极好的“数学实验室”，利用它可以发现几何结论。这就使学生的想象力得以发挥，聪明智力得以开发，思维能力得到培养，素质得到提高。我在市“奥校”上课时就用《几何画板》与高三年级的同学做过一个简单而又有趣的“实验”：△ABC的顶点A在定圆M上运动，B、C固定，求△ABC的外心O的轨迹。同学们进行了各种猜测，有猜抛物线的、线段的，猜圆的居多。用《几何画板》一做“实验”，发现是线段。再仔细想一想，应在“意料之中”（BC的中垂线上）。“意料之中”吗？当您拖动点C，使C在圆内时，是直线。同学们谨慎起来，不敢再说话。有一个胆大的学生说，噢，三种情况都有：当B、C在圆外时，轨迹是线段；当B、C中有一个在圆外、一个在圆内时，轨迹是直线；当B、C都在圆内时，轨迹是射线（也许是门捷列夫的化学元素周期表起了作用）。这就对了吗？仍然把点B、C都放在圆外，但线段BC与圆相交，这时轨迹成为两条射线，……。这位同学自感有点“冒失”，其他人更不敢再说话，沉默了。这一切，无需老师过多的语言。《几何画板》使同学们开阔了思路，发散了思维，提高了思维品质。《上海高等教育研究》（1998第五期）上有一篇“21世纪的教育——几何学万岁”的文章，从这个意义上我要说，《几何画板》万岁！