古代埃及使用的分数除了2/3以外，往往表示为单位分数
之和，这样给数学提出了许多有趣的问题，有些至今没有解决。
一个问题是1的表示，如果用不同的奇数分母来表示，则
至少需要9项，例如
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/1/315
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/33+1/45+1/385
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/35+1/45+1/231
它们的前6项都是相同的。1977年，李奇又提出一个11项表示法
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/27+1/35+1/63+1/105+1/135
他还提出不管用多少项来表示，最大的分母至少是105。关于
1的单位分数表示有一个一般的定理。当n＞77时，存在n的不等分析
n=x1+x2+……+xt
其中x1＜x2……＜xt，使1/x1+1/x2+……+1/xt=1
另一个著名问题是表示的最小项数。原则上讲，2/n可以
表示为两项单位分数之和，3/n可以表示成为三项单位分数之
和，如果要求各项不同，也不难把2/n表示为不同的三项单位
分数之和，例如：
2/3=1/2+1/6 1/6=1/7+1/42
2/3＝1/2+1/7+1/42
但是对整数n＞1，是否
4/n=1/x+1/y+1/z
都有正整数解，也就是4/n都有三项表示，这个问题还没有完
全解决，用计算机进行数值计算n≤10^8，这个猜想是肯定
的，当n为一些特殊的素数时，这个猜想还没有完全证明。
相应有人猜想5/n=1/x+1/y+1/z
也都有正整数解，但只有n≤10^6时得到验证。