2002．6
第一卷（选择题共60分）
参考公式
三角函数的和差化积公式 圆台的体积公式
其中r1，r2分别为圆的上、下底面半径，
h表示圆台的高
球体的体积公式
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，则实数m的取值范围是
A．m ≥ B．m ＞–1 C．m ≤
D．m ＜
（2）若直线l过点（3，0）且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
（3）若复数z满足|z+4+3i|= 3，则复数z的模应满足的不等式是
A．|z| ＜ 8 B．|z| ≤ |-4-3i| C．2≤|z|≤8 D．5≤|z|≤8
（4）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转
，所得向量对应的复数是
A． B．
C．
D．
（5）设P（x，y）是曲线C：上任意一点，则
的取值范围是
A． B．
C． D．
（6）A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有
A．12种 B．20种 C．24种 D．48种
（7）设函数的图像是
（8）用一块长3m，宽2m的矩形木板，在二面角为90O的墙角处，围出一个直三棱柱形谷仓，在下面的四种设计中，容积最大的是
（9）在等比数列{an}中，等于
A．6 B．-6 C．±2 D．±6
（10）已知是凸函数，则对于区间D内的任意
若函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是
A． B．
C．
D．
（11）一个半径为R的球，在一个水平放置的，内壁为半圆柱形（圆柱底面半径也是R）的槽内恰好可以无滑动地滚动一周，从槽的一端滚向另一端，设球的表面积为s，槽的内壁面积为s′，则s与s′的大小关系是
A．s =s′ B．s ＜s′ C．s ＞s′ D．不确定
（12）若的大小关系是
A． B．
C． D．不确定
第二卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
（13）若展开式中各项系数的和为128，则展开式中x2项的系数为__________________________________。
（14）是正实数，如果函数
上是增函数，那么
的取值范围是_______________________。
（15）在数列{an}中，an＞0，sn是它的前n项和，且，则它的通项公式是an =______________________。
（16）已知椭圆，是它的两个焦点，若P是椭圆上任意一点，
的最小值是___________________________________。
三、解答题：本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（17）（本题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c若a，b，c成等比数列。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的取值范围。
（18）（本题满分12分）
已知
（Ⅰ）求函数；
（Ⅱ）试比较的大小。
（19））（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB。
（Ⅰ）求证：平面CA′B⊥平面A′AB；
（Ⅱ）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60O，求直线AC′与平面BCC′所成角的正弦值。
（20）（本小题满分12分）
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式。现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？
（21）（本小题满分13分）
已知椭圆中心在原点，以抛物线的焦点为其右焦点，并且椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，A、B是椭圆上两点，弦AB中点M在直线x=4上。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求证弦AB的垂直平分线l与x轴交于定点。
（22）（本小题满分13分）
已知函数，记数列{ an }的前n项和为s n，且有
当n≥2时，
。
（Ⅰ）计算a 1；a 2 ；a 3 ；a 4 。
（Ⅱ）求出数列{ an}的通项公式，并给予证明。