（A）150 （B）147 （C）144 （D）141 [97年全国理（15）] 分析与解：（如图1所示）四面体ABCD，该题当然可以用 直接法求解，但怎样合理分类令众多考生“雾里看花、不知所措”； 若有考生能想到“通过求得问题的对立面”（即4个点共面的情况） 这种间接方法求解的话，则问题变得较为明朗、易解，具体解法 如下： 从10个点中取出4个点的取法有![]() 种，而四点共面的取法可 分以下三类：第一类，4个点恰好在四面体的同一面上有![]() 种； 第二类，4个点恰好是一个平行四边形的顶点有3种（如平行四边形EFHM）； 第三类，4个顶点恰为一条棱上的三点和相对棱的中点有6种； 所以符合条件的取法数为![]() －![]() －3－6＝141种。 例1．3：求二项式![]() 展开式中所有无理数系数之和。 分析与解：根据![]() 的方幂可知所有有理系数只有两项，即首项和末项：![]() 和![]() ，其系数之和2。又![]() 展开式中各项系数之和为![]() 。故展开式中所有无理系数之和为![]() 。 例1．4：解关于![]() 的不等式![]() 分析与解：若直接解不等式![]() 则相当于解下列不等式组： ![]() 或![]()
显然要解出这两个不等式组步骤较多且运算繁琐；但稍经仔细分析易发现不等式![]() 与不等式![]() 解集间的关系。而解不等式![]() 要比解原不等式简洁得多。为此该题就有如下解法： 先解不等式![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
则不等式![]() 的解集为![]() 在全集![]() 中的补集![]() 即为不等式![]() 的解集。 2、条件、结论转化，即通过条件、结论的“角色”转变，从结论或结论的反面入手逐步向条件靠拢以达到解决问题之目的。 例2．1：设![]() 求证：![]() 。 分析与解：由题设条件![]() 入手证明似乎很难找到突破口，但不妨从结论出发进行反推找到证题的思想。 由于![]() ![]() ![]() ![*]() ![]() ![]() ![]() （因两边均为非负数）![]() ![]()
![*]() ![]() ![*]() ![]() 这为已知条件式，且以上各步都可逆，所以![]() 成立。
该题的证明方法实际上就是分析法，它的证法特征在于从结论入手向条件逐步推进且每步均可逆；在大量的数学问题中还有一种运用“正难则反”策略，体现条件、结论转化更为典型的题型，该题型常用反证法解决。  例2．2：如图2，设SA、SB是圆锥![]() 的两条母线，O是底面圆心，Ｃ是![]() 上一点。求证：![]() 与平面![]() 不垂直。
分析与解：该题给定的条件非常简单，实际上有用的信息只是 圆锥![]() ；本题要想直接从条件入手证明是不可能的，那是否可以考 虑用反证法即从反面的角度思考、寻求问题的证明，这样就把 条件、结论角色转化，把结论的反面当条件用，证明过程如下： 假设![]() ，那么由![]() 可得： 平面![]() ，其交线为![]() ，作![]() 于![]() ， ![]() 则![]() ，又![]()
故![]() ，这与“![]() 与![]() 相交于![]() 点”矛盾， 因此原假设不成立，即![]() 与平面![]() 不垂直。 3、互为反函数间转化，即当函数存在反函数时，通过利用函数与反函数之间的定义域、值域、单调性、奇偶性等关系，把求与原函数（反函数）有关的问题转化为求与反函数（原函数）有关的问题以达到解决问题之目的。 例3．1：求函数![]() 的值域。 分析与解：该题可以用常规方法：将式子![]() 变形为![]() 后考察已知式子的取值范围得出所求函数的值域；但如果利用互为反函数的两个函数间定义域与值域的关系能使问题解决更加简洁、明快，这也不失为一种好方法。具体解法如下：由![]() 得：![]() ![]() 显然要使![]() 有意义，则![]() ， 即函数的值域为：![]() 例3．２：函数![]() 的反函数 …………………………………………（ ） （Ａ）是奇函数，它在![]() 上是减函数 （Ｂ）是偶函数，它在![]() 上是减函数 （Ｃ）是奇函数，它在![]() 上是增函数 （Ｄ）是偶函数，它在![]() 上是增函数 [９２年全国理（16）] 分析与解：本题在解决过程中考生容易想到的是用直接法求解也即先求得函数的反函数再判断：函数![]() 的反函数为![]() ，这时函数的奇偶性已能用定义判断出，但要判断其单调性只能用函数单调性的定义来证明，作为一道选择题这显然是一种“小题大做”、令考生繁不堪言的方法，况且考生若没有一定的运算能力极易出错。那么有其它解决方法吗？有考生想到用特殊值代入检验筛选法。还有更简便的吗？我们可以分析该题要判断的是函数![]() 的反函数的奇偶性与单调性；而函数与反函数间有如下性质：奇函数的反函数仍是奇函数、反函数不改变原函数的单调性。既然这样，我们就可以通过原函数的奇偶性、单调性来判断反函数的奇偶性、单调性，根本不用去求出函数的反函数。故本题的解法如下：因为当![]() 时![]() 是增函数，![]() 是减函数，所以![]() 是增函数；又![]() ，因此![]() 是奇函数又是增函数。则它的反函数是奇函数又是增函数，答案（Ｃ）。 从解决该题的思想方法中也不难能给我们另一种启示：要判断形如![]() 、![]() 等函数的单调性可通过研究其反函数的性质，这样可简化运算过程、给解题带来许多方便。 通过以上的例举与分析，我们可以看到“正难则反”策略确实是一种转化解决问题的好策略，它能开拓学生解题思路、打破学生思维定势、简化运算过程、提高解题速度；但从具体的转化方法中我们也可以看到，要正真掌握“正难则反”的解题策略须依托扎实的“三基”。因此，我们在平时的解题教学中，须以使学生掌握“三基”为根本，引导学生解题时要认真审题，使学生能根据题中的条件、结论正反分析确定一种合理的解题策略，从而正真提高学生分析问题、解决问题的能力。
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