| 三角函数及其恒等变形是中学数学的基础．在高中三角解题中，主要突出了恒等变形的思想，旨在加强对三角公式的深刻理解和灵活运用．本讲从另一个侧面出发，通过构造数学模型来解决三角问题．目的在于培养学生观察、分析、联想的思想方法以及创造性思维能力．
一、基础知识
1．思维是支柱
观察是思维的入口，是解题的第一能力．从五光十色的交叉干扰信号中，能迅速地找到自己需要的光点，这是观察能力中最基础、最珍贵的直觉思维能力．
分析是观察之后的去粗取精．正确地分析就是抓住事物的本质特征，同时也就舍弃了事物的非本质表象．
联想是一种特定的想象，它是把某一领域的事物与其他领域的事物联系起来思考并由此激发新的认识的思维方式．联想的过程实质上是一个知识迁移的过程．联想的目的是为了寻求解题途径，促成问题的解决．联想是构造的基础，是沟通思维和构造的桥梁．
2．构造是主体
思维与构造不是平行关系．思维在于想，构造在于干，想是干的基础和主导，干是想的实践和主体．
课本在推导三角公式时，多处应用了构造法．例如，两角和余弦公式的推导，课本通过构造解析模型，利用两点间的距离公式，建立了关于ｃｏｓ（α＋β）的方程，推导出了两角和的余弦公式；又如三角函数的和差化积公式，课本则通过构造对偶式θ＝α＋β，φ＝α－β，在积化和差公式的基础上，推导出了和差化积公式．这些方法在课本中是隐蔽的，需要我们去挖掘，通过应用，拓广它们的适用范围．
例1 求ｃｏｓ２10°＋ｃｏｓ２50°－ｓｉｎ40°ｓｉｎ80°的值．（1991年全国高中联赛题）
导析：看到此题，学生自然会联想到课本中的例题：求ｓｉｎ２10°＋ｃｏｓ２40°＋ｓｉｎ10°ｃｏｓ40°的值．他们会通过降次、和差化积来解决．这时，我们可引导学生观察，揭示其本质．注意到ｓｉｎ40°＝ｃｏｓ50°，ｓｉｎ80°＝ｃｏｓ10°，且问题关于ｃｏｓ10°、ｃｏｓ50°是对称的，所以可通过构造二元对称代换来解决．若注意到ｃｏｓ２10°＋ｓｉｎ２10°＝1，ｃｏｓ２50°＋ｓｉｎ２50°＝1，也可以利用对偶模型来处理．
解法1：令ｃｏｓ10°＝ａ＋ｂ，ｃｏｓ50°＝ａ－ｂ，则
ａ＝（1／2）（ｃｏｓ10°＋ｃｏｓ50°）＝ｃｏｓ30°ｃｏｓ20°＝（ ／2）ｃｏｓ20°，
ｂ＝（1／2）（ｃｏｓ10°－ｃｏｓ50°）＝ｓｉｎ30°ｓｉｎ20°＝（1／2）ｓｉｎ20°，
∴原式＝ｃｏｓ２10°＋ｃｏｓ２50°－ｃｏｓ50°ｃｏｓ10°
＝（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２－（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）
＝ａ２＋3ｂ２
＝（（／2）ｃｏｓ20°）２＋3（（1／2）ｓｉｎ20°）２
＝3／4．
解法2：令Ａ＝ｃｏｓ２10°＋ｃｏｓ２50°－ｓｉｎ40°ｓｉｎ80°，
Ｂ＝ｓｉｎ２10°＋ｓｉｎ２50°－ｃｏｓ40°ｃｏｓ80°，
则Ａ＋Ｂ＝2－ｃｏｓ40°， ①
Ａ－Ｂ＝ｃｏｓ20°＋ｃｏｓ100°＋ｃｏｓ120°
＝2ｃｏｓ60°ｃｏｓ40°＋ｃｏｓ120°＝ｃｏｓ40°－（1／2）． ②
由①、②消去Ｂ，得Ａ＝3／4．
说明：以上两种解法都抓住了问题的实质：角和函数，通过构造，使问题得以巧妙地解决．
二、综合应用
构造数学模型，发挥模型在解题中的作用，需要我们对知识进行积累和重新组合．除了以上的对称、对偶模型外，常用的还有函数模型、方程模型、三角模型、复数模型、几何模型、解析模型等．
例2 已知ｘ，ｙ∈［－π／4，π／4］，ａ∈Ｒ，且 | 
| ｘ３＋ｓｉｎｘ－2ａ＝0， | 求ｃｏｓ（ｘ＋2ｙ）的值．
（1994年全国高中联赛题） | | 4ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝0， | 导析：当学生拿到此题时，会有一种陌生感，因为已知的两个等式中既含有代数式ｘ３和4ｙ３，又含有超越式ｓｉｎｘ和ｓｉｎｙｃｏｓｙ．这时，就需要教师进行适当的引导和点拔：已知条件是怎样将ｘ、ｙ联系在一起的?学生自然会观察到：是通过参数ａ联系的!
由题设消去ａ，得
ｘ３＋ｓｉｎｘ＝（－2ｙ）３＋ｓｉｎ（－2ｙ）． ①
①式的两边具有相同的表现形式．因此，可构造函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ．由①得
ｆ（ｘ）＝ｆ（－2ｙ）．
又ｆ（ｔ）在［－π／4，π／4］上是增函数，
∴ｘ＝－2ｙ，即ｘ＋2ｙ＝0，
故ｃｏｓ（ｘ＋2ｙ）＝1．
说明：上面通过构造函数，使这个看上去很难解决的问题得到巧妙地解答．
例3 求ｔｇ２（π／7）＋ｔｇ２（2π／7）＋ｔｇ２（3π／7）的值．
导析：注意到题目中的三个角π／7、2π／7、3π／7，每一个角的3倍角与4倍角的和均为π的整数倍，故其正切值互为相反数．由此可构造方程
ｔｇ3θ＋ｔｇ4θ＝0． ①
则π／7、2π／7、3π／7是方程①的三个根．
∴（（ｔｇθ＋ｔｇ2θ）／（1－ｔｇθｔｇ2θ））＋（2ｔｇ2θ／（1－ｔｇ２2θ））＝0，
即ｔｇ６θ－21ｔｇ４θ＋35ｔｇ２θ－7＝0．
令ｘ＝ｔｇ２θ，则ｘ３－21ｘ２＋35ｘ－7＝0． ②
∵π／7、2π／7、3π／7是方程①的三个根，
∴ｔｇ２（π／7）、ｔｇ２（2π／7）、ｔｇ２（3π／7）是方程②的三个根，由根与系数的关系，得ｔｇ２（π／7）＋ｔｇ２（2π／7）＋ｔｇ２（3π／7）＝21．
例4 已知函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋ ，求函数的最大值和最小值．
导析：学生拿到此题最大的困惑是去根号，这时，教师引导学生注意观察ｓｉｎｘ和的关系，可发现ｓｉｎ2ｘ＋（）2＝2，则可令 | 
| ｓｉｎｘ＝ ｃｏｓθ１ | （π／4≤θ≤3π／4） | | ＝ｓｉｎθ． | 这样ｙ＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝2ｓｉｎ（θ＋（π／4））．
而π／2≤θ＋（π／4）≤π，0≤ｓｉｎ（θ＋（π／4））≤1，
∴函数的最大值为2，最小值为0．
说明：上面通过构造三角模型，利用三角函数的性质，巧妙地摆脱了根号的困惑，使问题得到了解决．
例5 求ｃｔｇ10°－4ｃｏｓ10°的值．（1993年俄罗斯竞赛题） 导析：学生拿到此题会感觉到表达式简单，但无法下手．这时，如能注意到三角形中的边角关系，可构造如图1所示的三角形ＡＢＣ，使∠Ｃ＝90°，∠Ａ＝10°，ＢＣ＝1，Ｄ为ＡＣ上一点，且使∠ＢＤＣ＝30°，则ＢＤ＝2，且∠ＡＢＤ＝20°．
在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得ＡＤ／ｓｉｎ20°＝ＢＤ／ｓｉｎ10°，
∴ＡＤ＝ＢＤｓｉｎ20°／ｓｉｎ10°＝4ｃｏｓ10°．
又ＡＣ＝ｃｔｇ10°，
∴ｃｔｇ10°－4ｃｏｓ10°＝ＡＣ－ＡＤ＝ＣＤ＝．
说明：通过构造几何模型，把三角函数的值转化为线段的长度，通过解三角形巧妙地求得三角函数的值．
例6 若α、β、γ均为锐角，且满足ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β＋ｃｏｓ２γ＝1，求证：ｔｇα·ｔｇβ·ｔｇγ≥2．
导析：拿到此题，联想到长方体对角线与三条棱所成角的性质，可构造长方体．设三度长分别为ａ、ｂ、ｃ，且交于顶点B的三棱与对角线ＢＤ１的夹角分别为α、β、γ．于是，原有三角不等式转化为代数不等式，即
ｔｇα·ｔｇβ·ｔｇγ＝ ≥ ＝2．
例7 已知ｃｏｓｘ＋ｃｏｓｙ＋ｃｏｓｚ＝ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｙ＋ｓｉｎｚ＝0，求证：（1）ｓｉｎ2ｘ＋ｓｉｎ2ｙ＋ｓｉｎ2ｚ＝ｃｏｓ2ｘ＋ｃｏｓ2ｙ＋ｃｏｓ2ｚ＝0；（2）ｃｏｓ（（ｘ－ｙ）／2）ｃｏｓ（（ｘ－ｚ）／2）ｃｏｓ（（ｙ－ｚ）／2）＝－1／8．
导析：注意到题目中正弦与余弦的对称性，可构造复数证明．
设ｚ１＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ，ｚ２＝ｃｏｓｙ＋ｉｓｉｎｙ，ｚ３＝ｃｏｓｚ＋ｉｓｉｎｚ，
则由已知，有ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0， ＋ ＋ ＝0．
（1）∵ｚ１２＋ｚ２２＋ｚ３２＝（ｃｏｓ2ｘ＋ｃｏｓ2ｙ＋ｃｏｓ2ｚ）＋（ｓｉｎ2ｘ＋ｓｉｎ2ｙ＋ｓｉｎ2ｚ）i，
又ｚ１２＋ｚ２２＋ｚ３２
＝（ｚ１＋ｚ２＋ｚ３）２－2（ｚ１ｚ２＋ｚ２ｚ３＋ｚ１ｚ３）
＝－2（（1／·）＋（1／·）＋（1／·））
＝－2·（＋＋）／ ＝0，
由复数相等的定义，得
ｃｏｓ2ｘ＋ｃｏｓ2ｙ＋ｃｏｓ2ｚ＝0，
ｓｉｎ2ｘ＋ｓｉｎ2ｙ＋ｓｉｎ2ｚ＝0．
（2）∵－ｚ３＝ｚ１＋ｚ２
＝（ｃｏｓｘ＋ｃｏｓｙ）＋ｉ（ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｙ）
＝2ｃｏｓ（（ｘ＋ｙ）／2）ｃｏｓ（（ｘ－ｙ）／2）＋2ｉｓｉｎ（（ｘ＋ｙ）／2）ｃｏｓ（（ｘ－ｙ）／2）
＝2ｃｏｓ（（ｘ－ｙ）／2）（ｃｏｓ（（ｘ＋ｙ）／2）＋ｉｓｉｎ（（ｘ＋ｙ）／2）），
同理，－ｚ２＝2ｃｏｓ（（ｚ－ｘ）／2）（ｃｏｓ（（ｚ＋ｘ）／2）＋ｉｓｉｎ（（ｚ＋ｘ）／2）），
－ｚ１＝2ｃｏｓ（（ｙ－ｚ）／2）（ｃｏｓ（（ｙ＋ｚ）／2）＋ｉｓｉｎ（（ｙ＋ｚ）／2）），
∴（－ｚ１）（－ｚ２）（－ｚ３）
＝8ｃｏｓ（（ｘ－ｙ）／2）ｃｏｓ（（ｙ－ｚ）／2）ｃｏｓ（（ｚ－ｘ）／2）［ｃｏｓ（ｘ＋ｙ＋ｚ）＋ｉｓｉｎ（ｘ＋ｙ＋ｚ）］
＝8ｃｏｓ（（ｘ－ｙ）／2）ｃｏｓ（（ｙ－ｚ）／2）ｃｏｓ（（ｚ－ｘ）／2）ｚ１·ｚ２·ｚ３，
∴ｃｏｓ（（ｘ－ｙ）／2）ｃｏｓ（（ｙ－ｚ）／2）ｃｏｓ（（ｚ－ｘ）／2）＝－1／8．
例8 已知（ｃｏｓ４α／ｃｏｓ２β）＋（ｓｉｎ４α／ｓｉｎ２β）＝1，求证（ｃｏｓ４β／ｃｏｓ２α）＋（ｓｉｎ４β／ｓｉｎ２α）＝1．
导析：初看关系式均很整齐，但却很难找到条件与结论直接的逻辑关系．这时，教师应引导学生对条件结构的进一步认识，可发现其与椭圆的标准方程很相似，这样可构造椭圆（ｘ２／ｃｏｓ２β）＋（ｙ２／ｓｉｎ２β）＝1，显然Ｐ1（ｃｏｓ２α，ｓｉｎ２α），Ｐ2（ｃｏｓ２β，ｓｉｎ２β）两点都在椭圆上．又过Ｐ２的椭圆的切线方程是ｘ＋ｙ＝1．而点Ｐ１也在切线ｘ＋ｙ＝1上，由切点的惟一性知Ｐ１和Ｐ２重合．
故ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２β，ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ２β，
即（ｃｏｓ４β／ｃｏｓ２α）＋（ｓｉｎ４β／ｓｉｎ２α）＝ｃｏｓ２β＋ｓｉｎ２β＝1．
说明：上面通过构造解析模型，利用点的坐标、曲线方程的有关性质巧妙地寻找到条件与结论间的逻辑关系．
三、强化训练
1．求ｓｉｎ10°ｓｉｎ30°ｓｉｎ50°ｓｉｎ70°的值．
2．求ｓｉｎ18°的准确值．
3．求ｃｏｓ（2π／5）＋ｃｏｓ（4π／5）的值．
4．求下列函数的最大值和最小值．
①ｙ＝ｘ＋ ；②ｙ＝ｘ／（1＋ｘ2）．
5．已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋2ｙ＝1，
求证：（1／ｘ）＋（1／ｙ）≥3＋2．
6．求ｃｏｓ（π／7）－ｃｏｓ（2π／7）＋ｃｏｓ（3π／7）的值． （第5届ＩＭＯ试题）
7．已知ｓｉｎαｃｏｓα＝60／169，且π／4＜α＜π／2，求ｓｉｎα、ｃｏｓα的值．
8．求函数ｙ＝（（ｓｉｎ3ｘｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ3ｘｃｏｓ3ｘ）／ｃｏｓ２2ｘ）＋ｓｉｎ2ｘ的最小值．
9．已知ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝1／4，ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝1／3，求ｔｇ（α＋β）的值． 1．提示：构造对偶式．1／16．2．设ｘ＝18°，则有2ｘ＝90°－3ｘ得ｓｉｎ2ｘ＝ｃｏｓ3ｘ．用倍角公式展开、化简可得2ｓｉｎｘ＝4ｃｏｓ２ｘ－3，整理得4ｓｉｎ２ｘ＋2ｓｉｎｘ－1＝0，∴可得ｓｉｎ18°＝ｓｉｎｘ＝（－1＋ ）／4．3．构造对偶式．－1／2．4．①ｙｍａｘ＝，ｙｍｉｎ＝－1；②ｙｍａｘ＝1／2，ｙｍｉｎ＝－1／2．5．提示：构造三角函数ｘ＝ｃｏｓ２θ，2ｙ＝ｓｉｎ２θ．6．构造对偶式，设Ａ＝ｃｏｓ（π／7）－ｃｏｓ（2π／7）＋ｃｏｓ（3π／7），构造Ｂ＝ｓｉｎ（π／7）－ｓｉｎ（2π／7）＋ｓｉｎ（3π／7），
则Ａ２＋Ｂ２＝3－4ｃｏｓ（π／7）＋2ｃｏｓ（2π／7）， ①
Ａ２－Ｂ２＝－ｃｏｓ（π／7）＋3ｃｏｓ（2π／7）－5ｃｏｓ（3π／7）． ②
①＋②得2Ａ２＝3－5Ａ，解得Ａ＝1／2．7．构造三数ｓｉｎα、2 ／13、ｃｏｓα成等比数列．可得ｓｉｎα＝12／13，ｃｏｓα＝5／13．8．构造复数，ｚ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ，则有ｓｉｎｘ＝（ｚ－ ）／2ｉ，ｓｉｎ3ｘ＝（ｚ３－ ）／2ｉ，ｃｏｓｘ＝（ｚ＋）／2，ｃｏｓ3ｘ＝（ｚ３＋）／2，ｃｏｓ2ｘ＝（ｚ２＋ ）／2．
∴ｓｉｎ3ｘｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ3ｘｃｏｓ３ｘ＝（（ｚ３－）／2ｉ）·（（ｚ－）／2ｉ）３＋（（ｚ３＋）／2）（（ｚ＋）／2）３＝（1／8）（ｚ６＋3ｚ４＋3ｚ2 ）＝（（ｚ2＋）／2）３＝ｃｏｓ３2ｘ．∴ｙ＝ｃｏｓ2ｘ＋ｓｉｎ2ｘ＝ｓｉｎ（2ｘ＋（π／4）），ｙｍｉｎ＝－．9．构造复数ｚ１＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα，ｚ２＝ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ，于是ｚ１＋ｚ２＝（1／3）＋（1／4）ｉ，（ｚ１＋ｚ２）2＝（7／144）＋（1／6）ｉ．又（ｚ１＋ｚ２）２＝ｚ２２＋ｚ２２＋2ｚ１ｚ２＝［ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β＋2ｃｏｓ（α＋β）］＋ｉ［ｓｉｎ2α＋ｓｉｎ2β＋2ｓｉｎ（α＋β）］． | ∴ | 
| ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β＋2ｃｏｓ（α＋β）＝7／144， | | ｓｉｎ2α＋ｓｉｎ2β＋2ｓｉｎ（α＋β）＝1／6， | 化简可得ｔｇ（α＋β）＝24／7． 摘自中国基础教育21世纪
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