知识点及方法：柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、台体（棱台、圆台）、球的基本概念和性质；面积问题；体积问题；最值问题；割补法；侧面展开法；体积法。
一、 基本概念和性质和线面位置关系
１．判断下列命题的真假 （１）各侧面都是矩形的棱柱是长方体；（２）直四棱柱是直平行六面体；（３）有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（４）有两个面互相平行，其余四个面是等腰梯形的六面体是四棱台；（５）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
２．四棱柱成为直平行六面体的一个充要条件是_________________。
３．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可以有______________个。
４．根据下列条件，填写三棱锥顶点
在底面
内的射影
的位置：（１）三条侧棱相等___________;（２）侧棱与底面所成的角相等___________;（３）侧面与底面所成的角相等_______________;（４）
到△
三边距离相 等且
在△
内部_______________;（５）三条侧棱两两垂直___________;（７）
∠
______________。
５．一个圆锥轴截面的顶角为，母线为１，过顶点作圆锥的截面中，最大的截面面积为_______________.
６．圆台的底面半径分别是和
（
，一平行于底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两部分，那么截面圆的半径是______________.
７．球面上有两点、
，经过
、
两点的球的大圆有___________个。
８．长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线的长是________________.
９．在长方体中，共顶点
的三条棱长分别为
、
、２，如果对角线
与过点
的相邻的三个面所成的角分别为
、
、
，那么
的值为________________。
10. 圆锥的侧面积等于１０，侧面展开图扇形的中心角为，则此圆锥的表面积是_______________。
11. 如图，是底面半径为
的圆柱的一条母线，且
，
为下底面的中心，
是下底面的一条切线。（１）求证：
⊥
；（２）若
与圆柱下底面所成的角为
，求
到直线
的距离。
12. 在三棱柱中，四边形
是菱形，四边形
是矩形，
⊥
。（１）求证：平面
⊥平面
；（２） 若
∠
求
与平面
所成角的大小。
13. 三棱锥底面是边长为
的正三角形，
在侧面
的射影
是△
的垂心，且二面角
的大小为
。（１）求证：三棱锥
是正三棱锥；（２）求侧棱与底面所成的角；（３）求侧面与底面所成的角。
14. 
如图，已知圆锥的轴截面
为等腰直角三角形，
为弧
上一点，
为弧
的中点。
为线段
的中点。（１）证明：∥平面
；（２）证明：平面
⊥平面
。
15. 已知，三棱台中，一侧面是底角为
的等腰梯形，且该侧面又与底面垂直，又∠
。（１）求证：二面角
是直二面角；（２）若
，
，求二面角
的大小。
16. 三棱台中，侧棱
⊥底面
，∠
，
，
，异面直线
与
所成的角为
，求（１）二面角
的大小；（２）点
到平面
的距离。
二、 面积问题
１．长方体的高为，底面积为
，垂直于底的对角面的面积为
，求长方体的侧面积。
２．圆柱轴截面的周长为定值，求圆柱侧面积的最大值。
３．正三棱柱中的底面边长为
，在侧棱
上截取
，在侧棱
上截取
，过
、
、
作棱柱的截面。（１）求证：截面
⊥侧面
；（２）求截面面积。
４．一个斜三棱柱的底面是边长为５的正三角形，侧棱长为４，若其中一条侧棱和底面三角形两条边都成的角，求这个棱柱的侧面积。
５．底面为矩形的四棱锥，
⊥底面
，
，求棱锥
的侧面积。
６．平面内的半径为
的⊙
，过直径
的端点
作
⊥
，且
是⊙
上一点且∠
，求三棱锥
的侧面积。
７．正四棱台两底面的边长分别为和
（
，侧棱与底面成
角，求棱台的侧面积。
８．一个正三棱锥底面边长为，相邻的侧面所成的二面角为
，求这个三棱锥的侧面积。
９．已知圆台有一面积为的内切球，如果圆台的下底面与上底面的半径之差为５，求圆台的全面积。
１０． 
如图，已知直三棱柱
的底面为等腰直角三角形，且∠
，
点到
的距离为
，
为
的中点。（１）求证：⊥平面
；（２）求
三棱柱的侧面积。
１１．长方体一个顶点上的三条棱长分别是３、４、５，且它的八个顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积。
三、 体积问题
1. 三棱柱中，底面边长
且∠
＝∠
＝
，求这个三棱柱的侧面积及体积。
 |
2. 如图，三棱锥中，
，
求三棱锥的体积。
3. 
如图，四棱锥的侧棱
的中点，底面边长为
，相邻
两侧面所成二面角为。（１）求
证：∥平面
；（２）求三棱
锥的体积
4. 三棱台中，已知
＝３９，三棱锥
的体积是４，求三棱锥
的体积。
5. 如图，是表示以
的长方形
为
底面的长方体，被截面斜着截断的几何体，四
边形是它的截面．当
时，
解答下面问题：（１）截面四边形是什麽图形？
（２）求得长；（３）求这个几何体的体积．
6. 
如图，在直三棱柱中，
⊥
，
（１）求证：平面⊥平面
（２）若
，∠
，棱锥
的体积为
，求直线
与底面
所成的角。
7. 在正三棱柱中，
，
、
分别在棱
、
上，且
，平面
与平面
成
的角，求（１）平面
把三棱柱
分成的两部分的体积的比；（２）点
到平面
的距离。
8. 如图，正三棱锥
的侧面是边长为
的正三角
形，是
的中点，
是
的中点，求△
绕
直线旋转一周所得到的旋转体体积。
9. 正三棱锥的高为，相邻两个侧面的二面角为
，求这
个三棱锥的体积。
10. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
为高，
为底面圆周上一点，（１）若
的中点为
，
⊥
，
为垂足，求证：
⊥平面
；（２）若∠
＝
，
求此圆锥的体积；（３）如果二面角
的正切值为
，求∠
。
11. 
如图，从三棱锥的顶点沿着三条侧棱
、
、
剪开成平面图形，得到△
，且
。（１）在棱锥
中，求证：
⊥
；（２）
求三棱锥的体积。
12. 三棱锥的顶点
在底面上的射影
是△
的垂心，
，侧面
与底面
所成二面角为
，求三棱锥
的体积。
13. 圆台上底面半径、母线长、下底面半径成等差数列，侧面积为，母线与底面所成的角为的余弦值为
，求圆台的体积。（
）
四、 展开图
１．圆柱的底面半径为２，轴截面对角线长为５，求这个圆柱侧面展开图的对角线长。
２．圆台上、下底面半径分别为２和５，母线长为５，求圆台侧面展开后所得的扇环的圆心角的大小。
３．长方体的
，一条绳子沿着长方体的表面拉倒点
，求绳子的最短长度。
４．已知圆台上、下底面半径分别为、５，母线
，
为
的中点，有一绳子从
出发，沿圆台表面一周到达
，问绳子的最短长度是多少？若绳子长度最短时，这绳子和上底圆周上的点的最短距离是多少？
５．一个正三棱锥，底面边长为
，侧棱长为
，过
作与侧棱
、
相交的截面，在这截面三角形中，求：（１）周长的最小值；（２）截面面积。
６．设正三棱柱的侧棱长为３，底面边长是１，沿侧面从点到
点，当路径
最短时，求
与
所成的角。
 |
７．如图，长方体交于点的三条棱长分别为
，则从点
沿表面
到的最短距离为多少？
８．三棱锥中，过顶点的三条侧棱两两成
的角，有一根细线，一端钉在
点，然后在这三棱锥的侧面上，紧绕一周，最后钉在
的中点
上，已知侧棱长为４，求：（１）这个那个线最短是多少？（２）细线截的个棱的长度是多少？
五、 最值问题
１．正三棱锥的底面边长为
，各侧面的顶角为
，
为侧棱
的中点，截面△
过
且平行于
，当△
周长最小时，求解得的三棱锥
的侧面积。
２．在底面半径为，高为
的圆锥内，有一内接圆柱，求内接圆柱侧面积最大时，圆柱的高，并求这个最大的侧面积。
３．
要用一块边长为１０的正方形铁片，按图甲将阴影部分裁下，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥棱锥容器，（图乙）怎样裁才能使加工成的容器容积最大？最大容积是多大？（精确到，
4. 如果圆柱的轴截面的周长为定值，求圆柱体体积的最大值。
４．已知正三棱锥的底面边长为
，侧面与底面所成的角为
，过底面的一边做这个棱锥的截面，试问当底面与截面所成二面角为何值时，截面面积最小？并求最小值。
５．欲建一个容积为定值的无盖圆柱水池。（１）水池尺寸如何选取才能使所用材料最少？（２）若池底材料成本为
元／
，池壁材料成本
元／
，问怎样的尺寸可使水池造价最低？
６．用一块长为，宽为
（
）的矩形木板，在二面角为
的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓（使木板垂直于底面的两边与墙面贴紧，另一边与地面贴紧）。试问应怎样围，才能使储物仓的容积最大？并求出这个最大值。
７．如图，三棱锥的二面角
的大小为
，已知
，
⊥
，
与底面
成
的角，△
的面积为
，问当
为何值时，△
面积取得最大值？并求出这个最大值。
８．
如图，在直三棱柱中，截面
∥侧面
，二面角
与相等，若三棱柱
、
、
的侧面积分
别为、
、
，求证：
。
 |
９．如图，已知⊥面
，
⊥
于
，
（１）记
，∠
，
试把表示为
的函数，并求最大值；（２）
在直线上是否存在一点
，使∠
∠
？