代数恒等变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低．变形实质上是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，需要在实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用．学生在平时学习中不善于积累变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至以“失败”而告终，其直接后果是应试能力差、效率低．
本文旨在展现代数运算和解题中常见的变形技巧，帮助学生找回失落而又重要的变形“通法”．
1．整式变形：按“主元”合并同类项并依降幂或升幂排列．
例1 设函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ．若点（ｘ，ｙ）在函数＝ｆ（ｘ）的图象上，则点（ｘ，ｙ２＋1）在函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｆ（ｘ））的图象上，试求ｇ（ｘ）的解析式．
分析：一般地，以ｘ为主元，从ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ２＋1＝ｆ（ｆ（ｘ））中产生ｘ的四次恒等式，比较系数便可求出ａ，ｂ，ｃ，但此法过程繁冗．若转换思维，视ｙ为主元，则有如下简解．
解：由ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ２＋1＝ｆ（ｆ（ｘ））可得ｙ２＋1＝ａｙ２＋ｂｙ＋ｃ．由题意知它是关于ｙ的恒等式，故可知ａ＝1，ｂ＝0，ｃ＝1，从而
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｆ（ｘ））＝（ｘ２＋1）２＋1＝ｘ４＋2ｘ２＋2．
评注：通法通则使人有章可循，数学中的“最简形式”、“一般形式”、“标准形式”等即是如此．但在实施通法通则的变形过程中，只有把握问题的本质，才能达到灵活变通之目的．
2．分式变形：通分化简乃通法，但诸多涉及分式的问题仅此而已是不够的，尚需按既定的目标逆向变通，这时将分式分解成“部分分式”、“分离常数”、“分子变位”等便成了特殊的“技巧”，灵活应用便使问题迎刃而解．
例2 已知ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ＋1）．当点（ｘ，ｙ）在ｙ＝ｆ（ｘ）的图象上时，点（ｘ／3，ｙ／2）在ｙ＝ｇ（ｘ）的图象上．试求函数Ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）的最大值．
分析：需先求ｇ（ｘ）的解析式，再对Ｆ（ｘ）的解析式进行变形．
解：由图象的伸缩变换知，ｇ（ｘ）的解析式为
ｇ（ｘ）＝（1／2）ｆ（3ｘ＋1）＝（1／2）ｌｏｇ２（3ｘ＋1）．
∴Ｆ（ｘ）＝（1／2）ｌｏｇ２（（3ｘ＋1）／（ｘ＋1）2），ｘ＞－1／3．（变为根式显然是不好的）
至此，令3ｘ＋1＝ｔ＞0，则
（3ｘ＋1）／（ｘ＋1）2＝9ｔ／（ｔ2＋4ｔ＋4０＝9／（ｔ＋（4／ｔ）＋4）．
∵ｔ＋（4／ｔ）≥4，当且仅当ｔ＝2时取等号，
∴Ｆ（ｘ）ｍａｘ＝（1／2）ｌｏｇ2（9／8）＝ｌｏｇ2（3－（3／2））．
评注：若令ｘ＋1＝ｔ，则真数可转化为关于1／ｔ的二次函数；当分式二次函数的分子或分母为一次式时，常用上述变形方法去求其变化域．此外，分离常数法可使分式化繁为简，如一次分式函数变成ｋ＋（ｐ／（ｘ＋ｋ））后，便使其性质暴露无遗；在数列中，当其通项为分式结构时，常联想到用裂项法求其前ｎ项的和，进而通过极限求出无穷项的和．
3．根式变形：分母有理化当属变形的主流，但为达某种目的有时却要逆向地采取分子有理化．
例3 函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ（ａ＞0）．求ａ的取值范围，使ｆ（ｘ）在区间［0，＋∞）上是单调函数．
分析：此题为2000年高考题，考生任取ｘ１，ｘ２∈［0，＋∞），且ｘ１＜ｘ２，作差：ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝－
－ａ（ｘ１－ｘ２），然后便出现了不同程度的思维受阻现象．若注意到将根式的分子有理化，则可继续推演．
解：ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）
＝（ｘ１－ｘ２）（（ｘ１＋ｘ２）／（＋
））－ａ）． ①
∵0＜（ｘ１＋ｘ２）／＋
＜1，
∴当ａ≥1时，据ｘ１＜ｘ２知①式恒正，从而ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＞0，ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２）．
故当ａ≥1时，函数ｆ（ｘ）在区间［0，＋∞）上是单调递减函数．
当0＜ａ＜1时，①式的符号不确定，又ｆ（0）＝ｆ（2ａ／（1－ａ2））＝1，所以函数ｆ（ｘ）在区间［0，＋∞）上不是单调函数．
综上，当且仅当ａ≥1时，函数ｆ（ｘ）在区间［0，＋∞）上是单调递减函数．
评注：分子有理化在无理式的大小比较、不等式的证明、数列的求和与证明中都有用武之地．
4．指数变形：变同底，即减少底数的种类，是进行此类运算的重要途径．
例4 已知ａ＞0，试解关于ｘ的不等式
ｌｏｇ1／2［ａ4ｘ＋2·ａ2ｘ·（ａ＋1）ｘ－（ａ＋1）2ｘ］＜0．
分析：将原不等式等价转化为
ａ4ｘ＋2·ａ2ｘ·（ａ＋1）ｘ－（ａ＋1）2ｘ］＞0，
则易使思维受阻．究其原因，在于上式为双底数的指数不等式．此时，化双底为单底便是代数变形之关键．
不等式两边同除以（ａ＋1）2ｘ（＞0），得
（ａ2／（ａ＋1））2ｘ＋2（ａ2／（ａ＋1））ｘ－1＞0，
此为关于（ａ2／（ａ＋1））ｘ的一元二次不等式，问题便化生为熟了．解略．
评注：化同底、变多底数为单底数，是研究与指数有关的方程、不等式、函数通性、极限等问题的重要技巧（实为解题的突破口）．
5．对数变形：换底．
例5 讨论函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ｂｘ）（ｂ＞ａ＞0）在定义域内的单调性，并证明你的结论．
分析：直接利用单调性的定义进行探索无异于盲人摸象，极易在毫无目标的变形中受阻．为此，利用对数换底公式进行变形，可供选择的底数有ａ、ｂ和10，但ａ、ｂ尚未完全具备对数底数的“资格”，故选择以10为底进行变形：
ｆ（ｘ）＝（ｌｇｘ＋ｌｇｂ）／（ｌｇｘ＋ｌｇａ）＝1＋（（ｌｇｂ－ｌｇａ）／（ｌｇｘ＋ｌｇａ））．
据ｌｇｂ－ｌｇａ＞0及复合函数的“同增异减”法则知，原函数在区间（0，1／ａ）和区间（1／ａ，＋∞）上均为减函数．如此思考和变形，已发现了结论，故只需将上述直觉思维的过程逻辑化，便可产生本例的简解．解略．
评注：有关对数式的数学问题，应注意换底及底数的合理选择．像本例融思维于变形过程之中的做法，值得提倡与效仿．
6．复数变形：除按三角或代数运算进行变形外，尚需注意复数的模与共轭的性质在变形中的灵活运用．
例6 已知ｚ１，ｚ２是两个不相等的非零复数，设α＝ｚ１＋ｚ２，β＝ｚ１－ｚ２．
（1）若α·是纯虚数，求证：｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜；
（2）若｜ｚ１／ｚ２｜2＋（ｚ１／ｚ２）2＝0，试判断｜α｜与｜β｜的大小关系．
分析：代数方法和三角方法均使解题过程繁冗，而灵活运用模与共轭的性质进行变形，则较为简捷．
证明：（1）∵α·是纯虚数，
∴＝－α·
，
即·β＝－α·
．
将α＝ｚ１＋ｚ２，β＝ｚ１－ｚ２代入便可变形出
｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜．
（2）由条件｜ｚ１／ｚ２｜2＋（ｚ１／ｚ２）2＝0，得（ｚ１／ｚ２
）＋（ｚ１2／ｚ２2）＝0．
因为ｚ１，ｚ２非零，所以ｚ１＋ｚ２
＝0．
从而，｜α｜２＝（ｚ１＋ｚ２）（＋
）
＝ｚ１＋ｚ２
＋ｚ１
＋ｚ２
＝ｚ１＋ｚ１
；
同理可得 ｜β｜2＝ｚ１＋ｚ２
．
故 ｜α｜＝｜β｜．
评注：复数的诸多运算和变形技巧对解题的繁简有着决定性的作用，颇为典型的还有±ｉ的立方虚根的应用．
值得指出的是，代数变形的方法与技巧远不止于此，但上述的几种却是最核心的、最本质的，乃至最常用的变形“技巧”．平时在教与学的过程中，若能留意用二次以上的变形技巧（就是方法），并能做好长期的积累与消化工作，对提高分析问题和解决问题的能力必将大有裨益，进而有助于诸多良好思维品质的形成．
摘自《中学数学教学参考》