解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元时要尽可能把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来。
Ⅰ、再现性题组：
1. y＝sinx·cosx＋sinx＋cosx的最大值是_________。
2. 设f(x2＋1)＝loga (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3. 已知数列{an}中，a1＝－1，an+1·an＝an+1－an，则数列通项an＝________________。
4. 设实数x、y满足x2+2xy+y-1=0，则x+y的取值范围是________________。
5. 方程＝3的解是_______________。
6. 不等式log2(2x－1) ·log2(2x+1 －2)<2的解集是____________________。
Ⅱ、示范性题组：
例1.实数x、y满足4x2－5xy＋4y2＝5（ ①式） ，设S＝x2＋y2，求＋
的值。（93年全国高中数学联赛题）
【注】三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。
其它换元法（和差换元）
例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋
＝－
，求cos
的值。（96年全国理）
【解】
【注】均值换元法。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。
例3.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。
【注】局部换元法，化为二次闭问题；含参问题分类讨论（此题由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况）。
例4.设对所有实数x，不等式x2log2＋2xlog2
＋log2
>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
【注】局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。
例5.已知＝
，且
＋
＝
(②式)，求
的值。
【注】等量换元，减少变量个数。
例6.实数x、y满足＋
＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
【注】三角换元法，化为三角不等式的值域问题；用分离参数法求出参数范围。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A.2lg2 B.lg2 C.
lg2 D.
lg4
2. 函数y＝(x＋1) 4＋2的单调增区间是______。
A.[-2,+∞) B.[-1,+∞) D.(-∞,+∞) C.(-∞,-1]
3. 设等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋……＋a99的值为_____。
A.85 B.72.5 C.60 D.52.5
4. 已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋
的范围是____________。
6. 不等式>ax＋
的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
7. 函数y＝2x +的值域是________________。
8. 在等比数列{a}中，a1＋a2＋…＋a10＝2，a11＋a12＋…＋a30＝12，求a31＋a32＋…＋a60。
9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin2x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x2＋y2 ＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。