．
一．基础知识自测题：
1．设sinα＝, sinβ＝
, α∈(0,
), β∈(
, π), 则sin(α＋β)＝
; cos(α－β)＝
; tg((α－β)＝
; cos2β＝
.
2．sin1＝
; tg1
＝
.
3．若3sinx＋4cosx＝5cos(x＋φ)，则sinφ＝; cosφ＝
.
4．化简：sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝ sinα .
5．不查表求sin27－cos27
＝
.
6．化简：＝ －2cos2 .
7．不查表求＝
.
8．化简cos4＋cos6
cos8
＋cos16
的结果是
.
9．的值等于 1 .
10．sin5－sin3
＋4sin4
cos8
sin6
＝
.
二．基本要求：
1．熟练掌握两角和与两角差的三角函数公式；
2．熟练掌握二倍角和半角的三角函数公式；
3．熟练掌握万能代换公式；
4．掌握和差化积与积化和差的公式；
5．在运用相关公式时，要注意观察角之间的关系，
6．注意公式的反向运用；
7．掌握asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)的变形关系，
其中sinφ＝, cosφ＝
;
例一．(1) 已知sinθ＝, θ为锐角，求sin
;
(2) 已知sinθ＝,sin2θ<0, 求tg
.
解：(1) ∵sinθ＝, θ为锐角, ∴ cosθ＝
, sin
＝
＝
.
(2) ∵sinθ＝,sin2θ<0, ∴cosθ<0, cosθ＝－
, tg
＝
＝3.
例二．(1) 已知tg(α＋β)＝1, tgα＝3, 求tgβ.
(2) 设cos(α－)＝－
, sin(
－β)＝
, 且
<α<π, 0<β<
,求cos(α＋β).
解：(1) ∵tg(α＋β)＝1, tgα＝3,
∴ tgβ＝tg[(α＋β)－β]＝＝－
.
(2) ∵cos(α－)＝－
, sin(
－β)＝
, 且
<α<π, 0<β<
,
∴α－∈(
, π),
－β∈(－
,
), sin(α－
)＝
, cos(
－β)＝
,
∴ cos＝cos[(α－
)－(
－β)]＝
, cos(α＋β)＝2cos2
－1＝－
例三．不查表求值：(1)tg5＋tg7
－
tg5
tg7
; (2) sin5
(1＋
tg1
).
解：(1) tg12＝
＝－
, ∴tg5
＋tg7
＝－
＋
tg5
tg7
,
∴ tg5＋tg7
－
tg5
tg7
＝－
.
(2) sin5(1＋
tg1
)＝ sin5
·
＝2 sin5
·
＝1.
例四．设α、β为锐角,sinα＝, sinβ＝
, 求α＋β.
解：∵α、β为锐角, sinα＝, sinβ＝
,α＋β∈(0, π),
∴ cosα＝, cosβ＝
, ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝
, ∴α＋β＝
例五．已知sin(－x)＝
, 0<x<
, 求
.
解：∵sin(－x)＝
, 0<x<
，∴
(cosx－sinx)＝
, cos2x＋sin2x＝1,
∴ (1－sin2x)＝
, sin2x＝
, cos2x＝
,
cos(＋x)＝cos[
－(
－x)]＝sin(
－x)＝
, ∴
＝
.
例六．把1＋sinx＋cosx化为积的形式。
解：1＋sinx＋cosx＝2cos2＋2sin
cos
＝2cos
(cos
＋sin
)＝2
cos
sin(
＋
).
例七．已知sin(α＋β)＝,sin(α－β)＝－
, 求1－
sin22α－sin2β－cos4α的值。
解：1－sin22α－sin2β－cos4α＝1 －cos4α－
sin22α－sin2β
＝(1＋cos2α)(1－cos2α)－sin2αcos2α－sin2β
＝sin2α－sin2β＝－
＝(cos2β－cos2α)＝sin(α＋β)sin(α－β)＝－
.
例八．求证：cos2x＋cos2(x＋α)－2cosαcosxcos(x＋α)＝sin2α.
证明：cos2x＋cos2(x＋α)－2cosαcosxcos(x＋α)
＝＋
－2cosαcosxcos(x＋α)
＝1＋cos(2x＋α)cosα－2cosαcosxcos(x＋α)
＝1＋cosα[cos(2x＋α)－2cosxcos(x＋α)]
＝1＋cosα[cos(2x＋α)－cos(2x＋α)－cosα]
＝1－cos2α＝sin2α.
例九．设0<α,β<π,且cosα＋cosβ－cos(α＋β)＝, 求α, β.
解：∵cosα＋cosβ－cos(α＋β)＝，
∴ 2coscos
－2cos2
＋1＝
,
∴ cos2－ cos
cos
＋
＝0,
∴ (cos－
cos
)2＋
(1－ cos2
)＝0,
∴1－ cos2＝0且cos
＝
cos
,
∴ sin＝0, α＝β, 代入得cosα＝
, ∴α＝β＝
.
例十．已知△ABC的三内角A、B、C满足：(sinA＋sinB＋sinC)(sinA＋sinB－sinC)＝3sinAsinB,求角C的大小。
解：sinA＋sinB－sinC＝2sincos
－2sin
cos
＝2sin(cos
－cos
)＝4cos
sin
sin
.
同样可求得sinA＋sinB＋sinC＝4 coscos
cos
,
由已知得4cos2sinAsinB＝3sinAsinB, ∴ cos2
＝
, cos
＝
,
＝
, c＝
.
三．基本技能训练题：
1．sin1cos3
sin7
的值等于
.
2．已知α是第三象限角，且sinα＝－,则tg
的值是
.
3．已知<β<α<
, cos(α－β)＝
, sin(α＋β)＝－
, 则sin2α＝
.
4．已知tg(＋θ)＝3，则sin2θ－2cos2θ的值是
.
5．已知sin(＋α)sin(
－α)＝
, α∈(
, π), 则sin4α的值是
。
6．求值：coscos
＝
.
7．的值为
。
四．试题精选：
(一) 选择题：
1．已知sinα＝, sinβ＝
，且α、β为锐角，则α＋β的值为（A）。
（A）45° （B）135°或45° （C）135° （D）以上都不对
2．命题甲：tg(α＋β)＝0；命题乙：tgα＋tgβ＝0，则甲是乙的（B）。
（A）充分非必要条件（B）必有非充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件
3．要使sinα－cosα＝
有意义，则（D）。
（A）m≤ （B）m≥－1 （C）m≤－1或m≥
（D）－1≤m≤
4．如果|cosθ|＝,
<θ<3π，那么sin
等于（B）。
（A）－ （B）－
（C）
（D）
5．已知2sinθ＝1＋cosθ，则tg等于（C）。
（A）2 （B） （C）
或不存在 （D）不存在
6．设tgα＝, tgβ＝
，则ctg(α＋2β)等于（A）。
（A） （B）－
（C）2 （D）－2
7．设a＝sin＋cos
, b＝sin
＋cos
,c＝
, ,则a, b, c的大小关系是（B）。
（A）a<b<c （B）a<c<b （C）b<c<a （D）b<a<c
8．cos－cos
＝（D）。
（A）3－2 （B）－
（C）
（D）－
9．sec＋ctg
＝（D）。
（A）tg （B）ctg
（C）tg
（D）ctg
10．等于（C）。
（A）2＋ （B）2－
（C）
（D）
11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值是（C）。
（A）－ （B）－
（C）
（D）
12．化简：sin2(＋
)－sin2(
＋
)得（A）。
（A）sin
（B）－
sin
（C）－
cos
（D）
cos
(二) 填空题：
13．若cos(α＋β)＝，那么(sinα＋sinβ)2＋(cosα－cosβ)2＝
.
14．设cosα＝, sin(α＋β)＝－
, α,β∈[0, π]，则cosβ＝ －1 .
15．化简tgα·tgβ＋(tgα＋tgβ)ctg(α＋β)＝ 1.
16．化简(sin＋cos
)(sin
－cos
)＝
.
17．计算＝
.
18．已知A＋B＝，则(1＋tgA)(1＋tgB)＝ 2 .
19．计算sincos
＋cos
sin
＋cos
cos
＝ 0 .
20．计算cos－cos
－cos
＋cos
＝
.
(三) 解答题：
21．(1) 已知tg(α＋β)＝, tg(β－
)＝
，求tg(α＋
)的值。
（2）设α为锐角，且cos(α＋)＝
，求cosα.
解：(1) tg(α＋)＝tg[(α＋β)－ (β－
)]＝
＝
.
(2) ∵α为锐角，且cos(α＋)＝
, ∴ sin(α＋
)＝
,
cosα＝cos[(α＋)－
]＝cos(α＋
)cos
＋sin(α＋
)sin
＝
.
22．求证：－2cos(α＋β)＝
.
证明：＝
＝cos(α＋β)＋ctgαsin(α＋β),
左式＝cos(α＋β)＋ctgαsin(α＋β)－2 cos(α＋β)＝ ctgαsin(α＋β)－cos(α＋β),
右式＝＝
＝ ctgαsin(α＋β)－cos(α＋β),
∴ 左式＝右式，原等式成立。
23．求值：cos2＋cos2
－2cos
cos
cos
.
解：cos2＋cos2
－2cos
cos
cos
＝＋
－2cos
cos
cos
＝1＋coscos
－2cos
cos
cos
＝1＋ coscos
－(cos
＋cos
)cos
＝1－cos2＝1－
＝
.
24．化简： (
<α<2π).
解：∵<α<2π, ∴
<
<π,
<
<
,
∴＝
＝
＝
＝sin
.
25．已知tg2θ＝－2,
<θ<π，求
的值。
解：∵tg2θ＝－2,
<θ<π, ∴ tgθ＝－
, sinθ＝
, cosθ＝－
,
＝
＝
＝3＋2
.
26．如果＝
，求cosx的值。
解：＝
＝＝
＝
,
∴ 4cos2x－3cosx－1＝0, ∴ cosx＝1或cosx＝－.
27．已知A＋B＝，求cos2A＋cos2B的最值。
解：cos2A＋cos2B＝＋
＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)
＝1＋cos(A－B),
∴cos2A＋cos2B的最大值为，最小值为
.
28．设α、β为锐角，且2sinα＋2sinβ＝3－2cos(α＋β)，求α, β.
解：原式整理为4sincos
＝3－2(1－2sin2
),
∴ 4 sin2－4sin
cos
＋1＝0,
∴ (2sin－ cos
)2＋(1－cos2
)＝0,
∴2sin－ cos
＝0, 1－cos2
＝0,
∴ α＝β, 且 2sinα＝1, ∴α＝β＝.