圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质，这是一个十分重要的内容。利用圆锥曲线定义来解决问题时，要注意其性质，还要注意曲线的基本定义和基本概念。为此，我们针对椭圆、双曲线、抛物线，先来复习一下它们的定义。
1. 椭圆：在平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数（大于）的动点的动点的轨迹叫椭圆。两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
2．双曲线：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
3．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义：平面内动点M到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e，当0<e<1时动点M的轨迹叫椭圆；当e=1时M点的轨迹叫抛物线；当e>1时M的轨迹叫双曲线。定点叫曲线的焦点，定直线叫曲线的准线，e叫曲线的离心率。
应用举例如下：
一、 定义法求轨迹
例1．过一定点且与一条定直线相切的动圆圆心的轨迹是什么曲线？
解 由平面几何知识知道，圆心到定直线的距离与到定点的距离相等（等于半径），满足抛物线定义，所以动圆圆心的轨迹是抛物线。
例2．已知两圆C1：（x－4）2+y2=169, C2：（x+4）2+y2=9，动圆P与C1内切，与C2外切。求圆心P的轨迹。
分析：由平面几何知识知道，两圆相切时常连结连心线，可利用切点在连心线上及圆心距与两半径的关系的性质。
解 由条件，两圆半径分别是13和3，设P（x，y）,动圆半径为r，则有
＝13－r
=3+r
消去r得＋
＝16，即P点到两定点C1、C2的距离之和是定值16，且因16>
，所以P点的轨迹是椭圆。
易求得其方程为。
例3．（1984年全国高考题）求出经过点M（1，2）且以y轴为准线、离心率为1/2的椭圆左顶点的轨迹方程。
解由题意，椭圆在y轴右侧，且长轴与x轴平行。
设其左顶点为P（x,y），由e=0.5知左焦点是F（,y）,又因M到准线y轴的距离是1，
所以由椭圆定义有，即（
－1）2+（y－2）2=
所求方程为 9（x－）2+4（y－2）2=1。
练习题：
1．两同心圆半径为R、r(R>r)，AB是小圆上固定的直径，一个离心率为常数e的椭圆经过点A、B，且以大员的一条切线为准线，求此椭圆焦点F的轨迹。
（答案：当Re>r时，F点轨迹是椭圆；当Re＝r时，F点轨迹是线段AB，当Re<r时，F点轨迹不存在）
2．双曲线C经过点A（－3，0）、B（3，0），且它的一个焦点是F（0，4）。求另一个焦点的轨迹方程。
（答案：x=0(y4)或16x2+25y2=400）
二、 定义法求最值
例4．点A（4，0）、B（2，2）在椭圆9x2+25y2=9*25内，M是椭圆上的动点，求
的最值。
解 易知A为椭圆焦点，则是一条焦半径，故考虑用椭圆定义。
设另一个焦点为F（－4，0），则＝2
。
由
即＋
的最值为10
例5．（1987年全国高考题）线段AB＝3，其两端点在抛物线y2=x上，求AB中点M到y轴的最短距离，并求出距离最短时M点的坐标。
分析：在此题中结合平面几何图形的几何性质并利用抛物线的定义，可得到比标准答案中的解法简单得多的解法。
解 如图，设曲线焦点为F，M（x,y），
由 即当AB经过焦点时，M到y轴的距离最小为 此时作MN⊥x轴于N，在Rt⊿MNF中易求得MN＝ 即M的坐标为（ 练习3.以双曲线 x2-3y2=3的焦点为焦点，且与直线y=x+3有公共点的椭圆长轴之长的最小值是多少？ 三．定义法求角 例6．（广东省高考题）已知F1.F2是双曲线C: 解 如图由条件
= 练习4.抛物线C的顶点为O，AB是过焦点F的弦，点A、B在抛物线的准线上的射影分别是C、D，求 四．其他应用 例7．求以定点A为焦点，定直线L为准线的椭圆短轴端点的轨迹。 解 以A为原点，过A与L垂直的直线为y轴建立坐标系。
由椭圆定义 化简得P：y2=dx(x
证明：设椭圆方程为 焦半径PF2是圆O1的直径， 则由a- 所以两圆相切。 练习5.以圆锥曲线m的焦点弦AB为直径的圆与相应准线L相交。求证：（1）m是双曲线；（2）对同一双曲线而言，L在这个圆上所截得的圆弧的度数是定值。（答：圆弧所对圆周角的正弦值是1/e） 练习6.点P在双曲线C上，C的焦点是F1、F2，顶点是M、N，则△P F1F2D内切圆与双曲线对称轴的切点（ ）。 （A）在线段MN内 （B）在线段MN外 （C）就是M或N （D）无法确定。 摘自《中学理科参考资料》 对 圆锥曲线定义的运用 文章的评论 [查看网友评论] |