不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
一、不等式证明的基本方法
1．比较法
比较法可分为差值比较法和商值比较法。
（1）差值比较法
原理 A－ B＞0A＞B．
【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：
（am＋bm）（an＋bn）＜2（am+n+bm+n）。
（2）证明：·
·
≤
。
【例2】设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意一个排列，令
S=a1+ a2
+…+ an
，S0=a1bn+a2bn-1+…+anb1，S1=a1b1+a2b2+…+anbn。
求证：S0≤S≤S1。
（2）商值比较法
原理 若>1，且B>0，则A>B。
【例3】已知a,b,c>0，求证：a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b。
2．分析法
【例4】若x,y>0，求证：>
。
【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。
3．综合法
【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。
【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令
S=，t=
。
求证：t>S。
4．反证法
【例8】已知a3+b3=2，求证：a+b≤2。
5．数学归纳法
【例9】证明对任意自然数n，。
二、不等式证明的若干技巧
无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。
1． 变形技巧
【例1】若n∈N，S=+
+···+
，
求证：n<S<n+1。
【例2】（1）若A、B、C∈[0，π]，求证：
sinA+sinB+sinC≤3sin。
（2）△ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A‘,B’,C‘，求证：S△ABC≤S△A’B‘C’。
2． 引入参变量
【例3】将一块尺寸为48×70的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。
【例4】在△ABC中，求证：a2+b2+c2≥4△+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。
其中，a,b,c是△ABC的三边长，△= S△ABC。
3． 数形结合、构造
【例5】证明：≤
。
4． 递推
【例6】已知：x1=，x2=
，···，xn=
。求证：
。
三、放缩法
【例1】若n∈N，n≥2，求证：。
【例2】α、β都是锐角，求证：≥9。
【例3】已知：a1≥1，a1 a2≥1，···，a1a2···an≥1，求证：
。
【例4】S=1++
+···+
，求S的整数部分[S]。
【例5】设a0=5，an=an-1+，n=1,2,···。求证：45<a1000<45.1。