一．基础知识自测题：
1．sin(arccosx)＝; tg(arcsinx)＝
; sin(arctgx)＝
.
2．sin(arcsin)＝
; arccos(cos
)＝
; arcsin(cos
)＝
.
3．tg{arcsin[cos(arcctg(－))]}＝
.
4．cos[arctg＋arccos(－
)]＝
.
5．sin[arctg(－
)]＝
; cos(2arcsin
)＋cos(2arccos
)＝
.
6．arcsin[sin(－5)]＋arctg(tg10)＝ 5－π .
7．sin(2arctg)＋tg(
arcsin
)＝
.
8．cos{arcsin(sinx)＋arccos[cos(x－)]}＝ 0 .
二．基本要求：
1．对反三角函数施以三角运算，实质是求三角函数值，通常是利用反三角函数的意义，用辅助角表示反三角函数，同时给定角的范围，然后化成三角函数的运算。而对于反三角函数的多层运算，一般由内到外逐层化简；
2．求反三角函数的值的实质是求角，应注意求角的三个步骤：①讨论角的范围，确定在这个范围内不同的角有不同的三角函数值；② 求这个角的一个三角函数值；③ 求出相应的角；
3．反三角函数的等式证明，一般必须证明两点：①等式两端的角的同名三角函数值相等；② 等式两端的角在所取的三角函数的同一单调区间内；
例一．已知函数f (x)＝arcsin(sinx), g(x)＝cos(2arccosx)，求证：f (x)是奇函数，g(x)是偶函数。
证明：函数f (x)的定义域是R,f (－x)＝arcsin[sin(－x)]＝arcsin(－sinx)＝－f (x),
∴f (x)是奇函数；
函数g(x)的定义域是[－1, 1], g(－x)＝cos[2arccos(－x)]＝cos[2(π－arccosx)]＝cos(2arccosx)＝f (x).
∴ g(x)是偶函数。
例二．求函数y＝arccos(x2－x)的单调递增区间。
解：由－1≤x2－x≤1, 解得≤x≤
,
设u＝x2－x＝(x－)2－
, 则当x∈[
,
]时, u单调递减，且u∈[－1, 1]时，y＝arccosu单调递减， ∴当x∈[
,
]时， y＝f (x)单调递增。
例三．计算：(1) tg(arcsin＋arccos
); (2) sin(
arcctg
).
解：(1) tg(arcsin＋arccos
)＝tg(
＋
)＝
.
(2) sin(arcctg
)＝sin(
·
)＝
＝
.
例四．求值：(1) tg[2arcsin(－)－
arccos
]; (2) sin(2arctg
)＋cos(2arctg2
).
解：(1) arcsin(－)＝－
,设arccos
＝β,则cosβ＝
,β∈(0,
), sinβ＝
,tg
＝
,
∴原式＝tg(－－
)＝－tg(
＋
)＝－
＝－(8＋5
).
(2) 设arctg＝α，arctg2
＝β, α,β∈(0,
), 且tgα＝
, tgβ＝2
,
因此sin(2arctg)＝sin2α＝
＝
, cos(2arctg2
)＝cos2β＝
＝－
,
∴原式＝－
＝－
.
例五．求值：(1) arcsin[sin(－)]; (2)arccos(cos
);
(3) arcsin[cos(＋α)]＋arccos[sin(π＋α)], 其中0<α<
.
解：(1) sin(－)＝－sin
＝sin
, ∴arcsin[sin(－
)]＝arcsin(sin
)＝
.
(2) arccos(cos)＝arccos[cos(π＋
)]＝arccoscos
＝
.
(3) ∵0<α<, ∴ cos(
＋α)＝－sinα＝sin(－α), sin(π＋α)＝cos(
＋α),
∴原式＝arcsin[sin(－α)]＋arccos[cos(＋α)]＝－α＋
＋α＝
.
例六．求证：sin{arccos[tg(arcsinx)]}＝.
证明：设arcsinx＝α, α∈[－,
], sinα＝x, cosα＝
, tgα＝
,
∴ arccos[tg(arcsinx)]＝arccos, 设arccos
＝β, β∈[0, π],
cosβ＝, sinβ＝
＝
,
∴ sin{arccos[tg(arcsinx)]}＝.
例七．求值：(1) tg[arcsin(－
)]; (2) arcsin
－arctg
.
解：（1）设arcsin(－)＝α, α∈(－
, 0), 且sinα＝－
, ∴ cosα＝
,
tg[arcsin(－
)]＝tg
＝
＝－
.
(2) 设arcsin＝α，α∈(0,
),且sinα＝
, cosα＝
,
arctg＝β, β∈(0,
), 且tgβ＝
, sinβ＝
, cosβ＝
,
又α－β∈(－,
), ∴ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝
,
∴α－β＝, 即arcsin
－arctg
＝
.
例八．已知arcsin<arccos(1－x)，求x的取值范围。
解：由,解得
, ∴ 0≤x≤2,
当0≤x≤1时, arcsin∈(0,
), arccos(1－x)∈(0,
), ∴ 原式可化为
arcsin<arcsin
, ∴
<
, 解得 0<x≤1,
当1<x≤2时, arcsin∈(0,
), arccos(1－x)∈(
, π), 恒有arcsin
<arccos(1－x)，
综上可得，不等式的解集是{x| 0<x≤2}.
例九．设x1, x2是方程x2－sin·x＋cos
＝0的两个实根，且α＝arctgx1, β＝arctgx2，求α＋β.
解：由韦达定理可得x1＋x2＝ sin, x1x2＝ cos
,
∴ tg(α＋β)＝＝
＝
＝tg
,
又x1＋x2＝ sin>0, x1x2＝ cos
<0, 故正根的绝对值大于负根的绝对值，
∴α＋β∈(0, ), ∴α＋β＝
.
例十．若(x＋1)(y＋1)＝2，求arctgx＋arctgy的值。
解：∵ (x＋1)(y＋1)＝2, ∴xy＋x＋y＋1＝2, ∴ x＋y＝1－xy,
设arctgx＝α, arctgy＝β, 则tgα＝x, tgβ＝y, ∴ tg(α＋β)＝ ＝
＝1,
又α,β∈(－,
), ∴ α＋β∈(－π, π), α＋β＝
或α＋β＝－
.
三．基本技能训练题：
1．当 x>0 时, arctgx＝arcctg, 当 x<0 时, arctgx＝ arcctg
－π.
2．比较大小：arccos(－) > arcctg(－
).
3．sin(arccos＋arccos
)＝
.
4．已知cos2α＝,α∈(0,
), sinβ＝－
,β∈(π,
), 则α＋β＝
.
四．试题精选：
(一) 选择题：
1．若arcsin(sinx)＝x，则x的取值范围是（B）。
（A）－1≤x≤1 （B）－≤x≤
（C）0≤x≤1 （D）0≤x≤
2．2arcsin＝（D）。
（A）arcsin （B）arccos
（C）－arccos
（D）π－arctg
3．若arctg(－3)＋arcctgx＝，则x的值是（B）。
（A） （B）－
（C）2 （D）－2
4．下列各式中，其值为正的是（B）。
（A）aecsin(－)－arccos(－
) （B）arccos(－
)－arccos(－
)
（C）arctg－arctg
（D）arctg(－3)－arctg(－1.7)
5．cos2(arcsin
)的值是（A）。
（A） （B）
（C）
（D）
6．若arcsin(－)＝－arccosx，则x等于（C）。
（A） （B）－
（C）
（D）－
7．若arctg(1－x)＋arctg(1＋x)＝，则x等于（C）。
（A） （B）－
（C）±
（D）±1
8．当x∈[－1, 0]时, 下列关系式中正确的是（C）。
（A）π－arccos(－x)＝arcsin （B）π－arcsin(－x)＝arccos
（C）π－arccosx＝arcsin （D）π－arcsinx＝arccos
9．函数y＝arccos(cosx) (x∈[－,
])的图象是（A）。
（A） （B） （C） （D）
10．若0<α<，则arcsin[cos(＋α)]＋arccos[sin(π＋α)]等于（A）。
（A） （B）－
（C）
－2α （D）－
－2α
(二) 填空题：
11．cos[arccos(－)＋arccos
]＝ －1 .
12．arccos[sin(－)]＝
.
13．arcsin＋2arctg
＝
.
14．sin[2arccos(－)]＝
.
15．arctg()＝
.
(三) 解答题：
16．求arcsin＋arccos
的值。
解：设α＝arcsin, α∈(0,
), sinα＝
, cosα＝
,
β＝ arccos, β∈(0,
), cosβ＝
, sinβ＝
,
∴ α＋β∈(0, π), cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝,
∴ arcsin＋arccos
＝
.
17．求tg(arcsin
)的值。
解：设arcsin＝α, α∈(0,
), sinα＝
, cosα＝
,
∴ tg＝
＝
. tg(
arcsin
)＝
.
18．求函数y＝cos(2arcsinx)＋2sin(arcsinx)的最值。
解：设α＝arcsinx，x∈[－1, 1], sinα＝x, cos2α＝1－2sin2α＝1－2x2,
∴ y＝1－2x2＋2x＝－2(x－)2＋
,
当x＝时, y取得最大值为
，当x＝－1时, y取得最小值－3.
19．求证：sin[arcctg()－arctg(
)]＝tg2
.
证明：设arctg()＝θ，则arcctg(
)＝
－θ，且tgθ＝
,
sin(－2θ)＝cos2θ＝
＝
＝ tg2
.