[基本要求]
掌握倍、半角公式，并能熟练地正用、逆用和变用。
[知识要点]
1、二倍角公式
在Sα+β，Cα+β，Tα+β中含α=β得到：
S2α： sin2α=2sinαcosα
C2α： cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
T2α: tg2α=
说明：①在运用二倍角公式时，要注意不仅限于2α是α的二倍的形式，还有如4α是2α的二倍，3α是的二倍，α+β是
的二倍等。
②由二倍角公式可以推出如下变形公式：(1)降幂公式：sinαcosα=,sin2α=
,cos2α=
,如需讨论函数性质如求函数的值域、最值、单调区间，周期、画图等，一般利用降幂公式化函数为y=Asin(ωx+φ）+B或Acos(ωx+φ)+B形式，(2)升幂化积公式：1+cosα=2cos2
,1-cosα=2sin2
如遇开方，用此公式较方便，(3)cosα=
,如求cos
cos
的值，求cos20°cos40°cos60°的值等用此公式就非常简便。
2、三倍角公式： sin3α=3sinα-3sin3α,cos3α=4cos3α-3cosα
3、半角公式：
:sin
=±
:cos
=±
:tg
=±
,
:tg
=
=
对于半角公式，必须明确，“半角”是相对而言，不能认为才是半角如2α是4α的半角，
α是3α的半角，反之
，5α分别是
，
的倍角，因此二倍角公式与半角公式是互逆的。
对于半角公式中根号前的双重符号，它取决于所在的象限，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号；若α属于某一给定区间，则先求出
的所在范围，然后根据
所在范围选用符号。
因无“土”号和根式 ∴在化简证明中更常用
4、万能公式
sinα= cosα=
tgα=
说明：①从左到右，α范围变小
②右端周期均为2π
5、合一变形
①asinx+bcosx=(
sinx+
cosx）
=(sinxcosφ+cosxsinφ)
=sin(x+φ)
| 其中φ由 |
| sinφ= |
|
|
|
|
及点(a,b)所在象限（即角φ所在象限）确定
②asinx+bcosx=(
sinx+
cosx)
=(sinxsinφ+cosxcosφ)
=cos(x-φ)
| 其中φ由 | { | sinφ= cosφ= | 确定或由tgφ= |
及点(b,a)所在象限（即角φ所在象限）确定[例题选讲]
1、已知α是第三象限的角，sin4α+cos4α=,求sni2α,cos2α,tg2α的值
解：∵(2k+1)π＜α＜2kπ+ (k∈z)
∴4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π (k∈z)
又∵sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α
∴1-sin22α=
∴sin22α=
∴sin2α=
∴cos2α=
∴tg2α=
2、求sin10°sin50°sin70°的值
解：sin10°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=cos40°cos80°=
cos80°=
=
3、求函数y=cos4x-sin4x的最小正周期
解：y=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x
∴周期T=π
4、求值
①已知sin-cos
=-
,450°＜θ＜540°求tg
的值
②已知7cos2α+5sin2α=5 求tgα的值
③已知=
求cosθ的值
④已知=-5求3cos2θ+4sin2θ的值
解①：∵sin-cos
=-
两边平方
∴1-2sincos
=
∴sinθ=
∵450°＜θ＜540° ∴cosθ=-=-
∴tg=
=
又112.5°＜
＜135°
∴tg=
=
又tg
＜0
∴tg=
②由万能公式及已知有
7×+5×
=5
即7-7tg2α+10tgα=5+5tg2α
即6tg2α-5tgα-1=0
∴tgα=-或1
③ctg=
=
=
=
=
(等比定理)
∴tg=2
∴cosθ==-
④解由万能公式：
3cos2θ+4sin2θ=+
又=
=-5
∴tgθ=2
∴3cos2θ+sin2θ==
5、若tg2α=2tg2β+1 求证 cos2α+sin2β=0
证明：∵tg2α=2tg2β+1
∴1+tg2α=2(1+tg2β)
∴sec2α=2sec2β ∴=
∴cos2β=2cos2α
∴1-cos2β=1-2cos2α
∴sin2β=-cos2α
∴cos2α+sin2β=0
[自我检测]
1、如果函数y=sinωxcosωx的最小正周期是4π,那么正实数ω的值等于（ ）
A、4 B、2 C、 D、
2、的值是（ ）
A、sin2 B、-cos2 C、cos2 D、-
cos2
3、已知sin=
cos
=-
则角α在第（ ）象限
A、一 B、二 C、三 D、四
4、若＜α＜2π则
等于（ ）
A、cos B、-sin
C、-cos
D、sin
5、化简得（ ）
A、tg2α B、ctg2α C、tgα D、ctgα
6、如果|cosθ|=,
＜θ＜3π，则sin
的值（ ）
A、- B、
C、-
D、
7、X∈[，π]且sinxcosx=-
，则tg
等于（ ）
A、1+ B、
-1 C、1±
D、
-1
8、化简得（ ）
A、ctg B、ctg(
-
) C、tg
D、tg(
-
)
9、已知2sinθ=1+cosθ则ctg的值为（ ）
A、2 B、 C、
或0 D、2或0
10、已知sin(θ-)=
则
等于（ ）
A、 B、±
C、
D、±
[参考答案]
1、D 2、D 3、C 4、C 5、B 6、C 7、A 8、B 9、D 10、B