解斜三角形
年级：高一 科目：数学 授课人：田云江
编号： 打字员：高焕 校对人：
[基本要求]掌握正、余弦定理及其推导方法，会灵活运用正、余弦定理解决有关问题。
[知识重点]
1、正弦定理：=
=
=2R
变式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC等
特例：Rt△中边角关系
2、余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abccosC
变式：cosA=
cosB=
cosC=
特例：勾股定理
3、正、余弦定理应用
①解斜三角形
如给出的条件为SSS，SAS，ASA，AAS型只要所给条件能构成三角形即有唯一解，可用正、余弦定理求解。
如给出的条件为SSA型，其解的情况可按如下讨论：
(1)A为锐角
(2)A为直角或钝角
易见SSA型无解的情况即不符合大边对大角，大角对大边的情况因此解SSA型时要结合正、余弦定理，大边对大角，大角对大边定理一起用。
②解决测量等生产和生活中遇到的实际问题。
③实现三角形中边、角转换，可用于判定三角形形状，求证三角形中的恒等式等。
④将正弦定理中的a,b,c,代入余弦定理，可得：
sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA可用于sin210°cos240°+sin10°+cos40°型求值。
(sin210°+cos240°+sin10°cos40°=sin210°+sin250°+sin10°sin50°=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°=sin2120°=)
4、三角形面积公式：
S△=底×高=
absinC=
其中p=
=
=
C·r其中c为三角形周长，R为三角形外接圆半径r为三角形内切圆半径。
[例题选讲]1、在△ABC中，AB=10，A=45°在BC边的长分别为20，
，5的情况下，求相应角C
解；由正弦定理：=
得sinC=
=
当BC=20时，sinC=∵BC＞AB ∴A＞C ∴C=30°
当BC=时，sinC=
∵AB·sin45°＜BC＜AB ∴C有两解 ∴C=60°或120°
当BC=5时，sinC=2＞1无解
2、已知三角形一个内角为60°，面积为10，周长为20，求三角形各边的长。
| 解：由题意知: | { |
|
| { | bc=40 |
bcsin60°=10
| 解之得 | { | a=7 | 或 | { | a=7 |
∴三角形的三边长分别为5,7,8.
3、已知梯形ABCD中，CD=2，AC=∠BAD=60°求梯形的高。
解：在梯形ABCD中，∵∠BAD=60° ∴∠ADC=120°
在△ABC中，∵CD=2 AC=
∴AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC
∴2=AD2+22-4ADcos120°
∴AD2+2AD-15=0 即(AD+5)(AD-3)=0
∵AD＞0 ∴AD=3
∴高DE=AD·sin60°=
4、已知△ABC中，AB=1，BC=2 求C的取值范围。
解：令AC=x则即 1＜x＜3
由余弦定理得x2+4-4xcosC=1
即x2-4xcosC+3=0
∴△=(-4cosC)2-4×3≥0 ∴16cos2C-12≥0 即cos2C≥
由C是△ABC中最小内角， ∴cosC＞0 ∴cosC≥
因此0＜C＜
5、已知钝角△ABC中，∠B＞90° a=2x-5 ,b=x+1 c=4求x的取值范围。
解：∵B＞90° ∴A、C为锐角
| ∴ | { | b＞a |
| x+1＞2x-5 |
| { | 6＞x |
＜0 即 ∴
＜x＜4故x的取值范围是（
，4）
6、在△ABC中求证=
证法一：由正弦定理有右==
==
=
=左
证法二：由余弦定理右==
==
=左
7、在△ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg并且B为锐角试判断此三角形的形状。
解：由已知=
且sinB=
∵B为锐角， ∴B=45°那么A+C=135°
A=135°-C，代入=
得
sinC=2sin(135°-C)∴sinC=sinC-cosC
∴cosC=0 ∴C=90° 且A=B=45° ∴△ABC为等腰直角三角形
8、在△ABC中，a+c=2bA-C=求sinB的值
解：由弦定理和已知条件a+c=2b得
sinA+sinC=2sinB 化积为2sincos
=2sinB
∵sin=cos
,A-C=
∴cos
=sinB=2sin
cos
=
从而cos=
=
于是sinB=2sin
cos
=2·
·
=
[自我检测]
1、在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2则角A为（ ）
A、 B、
C、
D、
或
2、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a则a的范围是（ ）
A、(8，10) B、(，
) C、(
，10) D、(
，8)
3、若acosA=bcosB则△ABC一定是（ ）三角形。
A、等腰 B、直角 C、等腰直角 D、等腰或直角
4、在△ABC中，a=sin10°,b=sin50°,∠C=70°那么△ABC的面积为（ ）
A、 B、
C、
D、
5、在△ABC中，若sinA＞sinB则
A、a＜b B、a＞b C、a≥b D、a、b大小关系不定
6、在△ABC中，a=2,b=2
,A=45°此三角形的解的情况是（ ）
A、无解 B、一解 C、二解 D、不定
7、△ABC中,sinA:sinB:sinC=2:3:4则△ABC是（ ）
A、锐角 B、钝角 C、直角 D、不可能是钝角
8、△ABC中,sinA+cosA=则（ ）
A、A为锐角 B、A为钝角 C、A是锐角或钝角 D、A是锐角且小于
9、已知△ABC中，AB=，AC=1∠B=30° 则△ABC面积为（ ）
A、 B、
C、
或
D、
或
10、已知△ABC的面积为且b=2,c=
则∠A等于（ ）
A、30° B、30°或150° C、60° D、60°或120°
[参考答案]1、C 2、B 3、D 4、C 5、B 6、C 7、B 8、B 9、D 10、D