有一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑它们尺寸大小的新的几何学，叫做拓扑学．有时人们也称它是橡皮膜上的几何学．因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动其长度、曲直、面积等等都将发生变化，但也有一些图形的性质保持不变．例如点变化后仍然是点；线变化后依旧是线；相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交！拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不变的性质．在这种几何中，扭曲和拉长（但不包括撕开或接合下称为拓扑变换．图形在拓扑变换下保持不变的性质，称为图形的拓扑性质．
三角形和圆是两种截然不同的图形．但它们都是简单的封闭曲线．在拓扑变换下，三角形能变成圆，三角形的内部变成了圆的内部，三角形的外部变成了圆的外部．这就是说，简单封闭曲线的内部和外部具有拓扑性质．
图１显出了画在一块矩形橡皮膜上的三角形，被拉成圆的情形。
从图２的三个图形可以想像出它们各自表示什么东西。在拓扑变换下，它们中的每一个图形都能变成另一个图形．
图２
传说古波斯穆罕默德的继承人哈里发，为了挑女婿曾经给络绎不绝的求婚者出过这样一个题目：请用线把图３中写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不许相交．
图３ 图４
这个问题似乎很简单，但实际上没有一个求婚者能够如愿以偿．事实上，如图４，我们很容易把①一①、②一②连起来，从而得到一条简单的封闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部（阴影部分）和外部这两个区域．其中一个③在内部区域，而另一个③却在外部区域．要想从闭曲线内部的③，画一条线与外部的3相连，而与已画的闭曲线不相交，这是不可能的！
用一个正方体做游戏：如图５假设正方体的八个顶点表示均匀分布在地球上的八个城市，而每个城市都有三条路线与毗邻城市相连．某学者从Ａ城出发，要到Ｃ’城作考察，途
中顺便到其他的六个城市旅游．要求这六个城市都只经过一次而最后到达Ｃ’城．请画出他的旅行路线．
图５ 图６
要找出这条路线，最好是把它化为平面上的图形来考虑．为此，我们不妨设想这正方体是由有弹性的橡皮薄膜制成，再用剪刀沿着棱剪掉它的一个面，然后扯着这个缺口把它拉开铺平，就成为一个平面图形．这个图形叫做正方体的拓扑平面图（如图６）．图中的粗线和箭头方向就表示它的一种解答．
如果这个旅行者最后要到达的城市不是Ｃ’而是Ｄ’，那么他的旅行路线又该是怎样的呢？要画出这条路线的任何尝试总是不会成功．为什么呢？
把这八个城市按图７用两种不同的颜色区分开，这样，用一条棱连接的两个顶点颜色都不同，那么以Ａ点为出发点的第１号城市，以后到达的各城市依次编为２，３，…，８，可以知道：编为奇数的城市都应该是白色的；编为偶数的城市都应该是黑色的，作为最后到达的第８号城市当然是黑色的．可见，从Ａ城出发，以Ｂ’、Ｄ’、Ｃ为终点，中途又要不重复地经过其他六个城市的路线都是不存在的．
图７ 图８
下面是一道涉及拓扑学知识的数学竞赛题．
图８是从一个 ８ Ｘ １０格的矩形纸上剪去两个1ＸＩ的小方格后得到的．能不能把它全部剪成ＩＸＺ格大小的矩形小纸片呢？为什么？
这是不可能的，由它上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成，这两个小方格上染有不同的颜色．假设它能全部剪成这样的小矩形纸片，那么它上面两种颜色的格子数目应当相等．但它的灰色小方格比白色小方格少２个．所以它能全部剪成ＩＸ２格小矩形纸片的假设是错误的．因此，不可能把它全部剪成这样的小纸片．