球体积计算有妙方

球体积计算在数学史上是一个很重要的问题，尤其在古代，这个问题解决得如何，从某种意义上讲，标志着某个国家、某个民族的数学水平的高低。我们中华民族在这个方面的杰出成就，是足可引以为豪的。

早在公元前1世纪，我国对球体积计算是通过实测来完成的，其结果引出球体积计算公式：，其中V——球体积，D——球直径，为什么？非常简单。用黄金分别制作一个立方寸的方块和直径1寸的球丸，用秤一称，一个16两，一个9两，球体积计算的近似公式就出来了。直到《九章算术》成书的年代还保留着上述公式。这可以说，是我国球体积计算的第一阶段：实测。

公元3世纪，刘徽在注《九章算术》时，对这个公式提出了异议。为了说明刘徽的观点，我们先引入以下几个模型，如图1，所示。

V₁——正方体且边长为D，V₂——V₁的内切圆柱，V₃——V₁的两个内切圆柱的相贯体，V——直径等于D的球，V₃是刘徽专门引入的，并命名为“牟合方盖”，即两个相同的方伞上下而合为一体。刘徽分析的不准确是由以下推理所致：

但他马上提出其中V₂：V=4：π是错误的，因为V3：V=4：π（V₃与V的任意等高截面均为4：π）。刘徽的论断非常正确，他实际上双指出了计算球体积的一条有效途径，那就是设法求出“牟合方盖”的体积。可惜的是，刘徽当时还没有找到求“牟合方盖”体积的办法。他说：“我们来观察立方体之内，合盖之外这块立体体积吧。它从上而下地逐渐瘦削，在数量上是不够清楚的。由于它方圆混杂，各处截面宽窄极不规则，事实上没有规范的模型可与之比较。若不尊重图形特点而妄作判断，恐怕有违正理。岂敢不留阙疑，街能言者来讲解吧。”由此，刘徽这种不迷信前贤，实事求是的治学精神可见一斑。这是我国球体积计算的第二阶段：改进。

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“牟合方盖” （图2）

到公元6世纪，我国球体积计算进入严密推导的第三阶段。著名数学家祖冲之的儿子祖取，再将它填充成，所填充的那部分体积，正是当年刘徽不知如何中处置的“合盖之外，立方之内”的。由水平截面在高为Z处截这个填充后的立方体，可截得正方形，由F₁，F₂，F₃ ，F₄组成。其中（由勾股定理知），而。由此，祖提出“缘幂势既同，则积不容异”的著名论断，后人称之为“祖原理”。并推出：如图3，，因为F₂+F₃+F₄=F^*=Z²。而B^*为倒立的正方体阳马，为B的体积的，显然，B₁为B的体积的，再利用刘徽的结论V₃：V=4：π，即可得球体积计算公式：，其中D为球直径。

至此，我们可以说，在球体积计算方面，刘徽的方法确实妙不可言，而祖的推导则完美无缺。而在西方，公元前3世纪阿基米德在《论球与圆柱》卷I中，曾以33个命题为准备，用穷举法在命题34个中才得出结论：。到公元前17世纪卡瓦利里利用了与“祖原理”相同的所谓“不可分量原理”，得出了的结论，只不过他所采用的形式，这也是现行中学课本中所采用的方法。同学们可以自行比较这些方法的特点。