圆吸引着古往今来众多学者的兴趣。
古希腊的科学家、数学家阿基米德（Archilnedes，前287～前212）和我国魏晋时期的数学家刘徽，都研究过圆面积计算公式和圆周率，他们所用的极富启迪性的方法，被后人称之为“割圆术”。
我们先来看看他们各自所得的结论；再来分析他们所采用的方法。
阿基米德在《圆的度量》中，提出了三个命题：1．圆面积计算公式S=L·r，其中L为圆周长，r为圆半径；
2．圆与其外切正方形面积之比为11：14；
3．圆周率π：3。
刘徽在《九章算术》方田章圆田术注中，得出三个结论：
1． 圆面积计算公式S=L·r（与阿基米德的命题完全一样）；
2． 圆与其外切正方形面积之比为3927：5000；
3． 圆周率
不难看出，上述结论都与圆周率π有关，他们的第一个结论中，若取r=1，则S=π；第二个结论实质是应该是π：4；第三个结论，无疑给出了π的近似取值范围。相比之下，刘徽的结果比阿基米德的精密，原因何在？正是获得上述结论的方法——割圆术有所不同。
阿基米德用归谬法证明他的圆面积计算公式：如图1，不防设圆面积为P，直角三角形面积为K，圆内接正多边形面积为s，圆外切正多边形面积为S。
刘徽推导圆面积计算公式，从圆内接正6边形开始，如图2，他认为，以圆内接正6边形边长乘以半径，再3倍，得到圆内接正12边形面积；以圆内接正12边形边长乘以半径，再6倍，得到圆24边形面积。以此类推，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”他接着指出，每次用半径乘内接正多边形边长时，导致面积翻一倍，所以最终“以半周乘半径”得圆面积。
阿基米德的证明非常精彩，它具有古希腊数学中逻辑论证的典型特征，巧妙的归谬法颇具匠心。刘徽的推导十分明快，不仅用了极限思想，免去了外切正多边形面积的采用，而且给出了圆面积的计算程序，显示出中国传统数学以算为主，寓理于算的特征。基于以上特征，我们将会看到刘徽的结果比阿基米德精密的原故。
关于圆周率，阿基米德分两步推导。
首先，证明，以圆外切正6边形起算，如图3，用勾股定理、相似形定理证明。
（勾股定理）
其次，证明，以圆内接正6边形起算，如图5，也用勾股定理、相似形定理。
在圆内接正6边形中，
阿基米德一步一步推导，对近似数值进行精巧的调整，最终得到
刘徽推导圆周率，取直径为2，也从圆内接正6边形起算，但只用勾股定理，且不用圆外切正多边形。
如图7，反复运用以下关系：
并且建立每次增边后的内接正多边形边长的算式
在圆周率推导过程中，阿基米德只得出了圆周率的取值范围，且没有刘徽的结果精密。而刘徽所得丰富多了，其中最为重要的是“刘徽不等式”。有了这个不等式，我们可以把阿基米德的结果与刘徽的结果集中地表示在一个圆上，读者可以通过简单的几何证明，得出这样的结论：只要他们俩所用割圆术，所割正多边形边数相同，那么刘徽所得圆周率的取值范围，恒比阿基米德的精密。此外，有了这个不等式，祖冲之能计算出更精密的圆周率的取值范围，也是情理之中的了。