教学目标
(一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法：
(二)提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想；
(三)培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法.
教学重点的难点
重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法.
难点：选择恰当的解法.要有一定的计算能力和技巧.
教学过程设计
(一)复习
1.一元二次方程的一般形式是什么?
2.不完全的一元二次方程有哪几种?
3.解一元二次方程有哪四种方法?
(二)新课
同一个题目可能会有多种解法，我们应该根据题目的结构选取恰当的解法.在解题过
程中应该根据算理，发挥计算技能，要有毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可能出现
的错误.
例1 解方程：x(x-1)=x(x+1)
分析：(启发学生一起想)先化为一般形式.
解：原方程化为(1-)x2-(1+
)x=0,提取公因式x,得x[(1-
)x-(1+
)]=0,x=0,(1-
)x-(1+
)=0.
(二次根式运算的结果，应化为最简二次根式)
例2 解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0.
分析：(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式.
观察题目的结构可见，把3x+2换元为t，则原方程就是t的一元二次方程.
解：设3x+2=t,原方程变为t2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t1=3,t2=5.即3x+2=3或3x+2=
5.故x1=1 3,x2=1.
注：本题也可直接写为[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x1=13,x2=1.
例3 解方程：144x2=61-208x.
解：原方程化为144x2+208x-61=0,则a=144,b=208,c=-61.b2-4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61.
(此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧.分解因数，提取公因数，化为连乘积)
b2-4ac=(16×13) 2+22×42×9×61=82(4×169＋9×61)=82×1225=(8×35) 2＞0,原方程有实根.
例4 解方程：2(x+1)2+3(x+1)(x-2)-2(x-2)2=0.
分析：如果把各项展开，整理为一元二次方程的一般过程太繁.观察题目结构，可换元
. 解：设x+1=m,x-2=n,原方程变形为2m2+3mn-2n2=0,左边因式分解为(2m-n)(m+2n)=0,2
m-n=0或m+2n=0,即2(x+1)-(x-2)=0或(x+1)+2(x-2)=0所以x1=-4,x2=1.
另解：也可直接写为
[2(x+1)-(x-2)][(x+1)+2(x-2)]=0,
2x+2-x+2=0或x+1+2x-4=0,
故 x1=-4,x2=1.
例5 解方程：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44.
分析：从例4的解题过程，我们再一次体会到，解方程的基本思想之一是“降次”，例
如把一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程.
本题是一元四次方程，我们试试能不能和因式分解法把方程(注意，必须等号一边为0)
(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0的左边分解因式.
解：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0，[(x+2)(x-4)][(x+3)(x-5)]-44=0,(x2-2x-8)
(x2-2x-15)-44=0,
令y=x2-2x-8,原方程变为y(y-7)-44=0,即y2-7y-44=0,(y-11)(y+4)=0,y-11=0或y+4=0
,即x2-2x-8-11=0或x2-2x-8+4=0.
由x2-2x-19=0，得x1,2=1±2；由x2-2x-4=0,得x3,4=1±
.
所以 x1=1+2,x2=1-2
,x3=1+
,x4=1-
.
(三)课堂练习
1.解方程：(-x)2-(x-
)(
-x)=0.
2.解方程：x2+x-1=0.
(1.x1=,x2=
. 2.x=
(四)小结
1.换元、降次是解方程的重要思路.
2.计算过程应尽可能简捷、合理，尽可能避免大乘大除.
(五)作业
1.用适当方法解方程：
(1) x2+2=3x; (2) x2=3x+2;
(3) (x-1)(x+2)=70; (4) (3-x) 2=9-x2;
(5) (y+3) 2-2=0; (6) (3x-2)=2(3-x);
(7) x2+(1-3)x+4+
=0; (8)2(x+1)(x+2)=3x(x+2);
(9)(x+7)(x-7)=2x-50; (10)(3x-1)(x+3)=1;
２．解关于x的方程：
作业的答案或提示
当a=b=0时，方程的解不定；
当a≠0时，
当a=0,bc≠0时，x=b+c,当a=b=0或a=c=0时，方程的解不定.
课堂教学设计说明
1.例2，例4，例5都渗透了换元、降次的思想.
2.例3说明了在具体计算时，要合理计算即尽量利用数学公式，性质，使计算简捷.