教学目标
(一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据：
(二)使学生会运用根与系数关系解题.
教学重点和难点
重点：根与系数关系的推导.
难点：根与系数关系的运用.
教学过程设计
(一)引言
我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数a,b,c决
定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究方
程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明.
（二）新课
从表格中找出两根之和x1+x2与两根之积x1·x2和a,b,c的关系：
1.先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x1+x2,x1x2的值与一次项系数及常数项的关
系.(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项)
2.再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x1+x2,x1x2的值与系数的关系.(在把方
程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律)
3.猜想ax2+bx+c=0 (a≠0)的x1+x2,x1x2与a,b,c的关系(引导学生化为x2+
后，猜想)为x1+x2=-，x1x2=
.
4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明
就可以了.
证明：设ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1,x2,
5.读课文P31第3行第4行的黑体字，要求把这段黑体字(实际上就是定理)读出来，以强化印象.
6.为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程”
.
读课本P31第10至11行的黑体字.
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q.
教师必须要求学生能用语言表达上述定理.
“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”.(
这个定理又叫做韦达定理)
7.再要求读课本P31的倒数第3行到倒第1行(也要求学生用语言表达此定理).
“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理)
例题讲解
例1 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：把方程两边都除以5，化为最简二次方程
例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两根的(1)平方和；(2)倒数和.
分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和
与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把
方程的系数代入，算出结果了.
(2) 1 x1+1 x2=x1+x2 x1x2=(-3 2)÷(-1 2)=3.
例3 求一个一元二次方程，使它的两根分别是
分析：先让学生用语言表达P31倒数第3行～第1行的黑体字；
“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之
积”.
例4 已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数.
分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.
解法1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为8，所以另一个数为8-x.
再根据“两数之积为9”，可列出方程x(8-x)=9.
解法2：设两个数是x,y,可列出方程组这类方程组的解法，我们将在课本P61学到.
解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程.x2-8x+9=0.这就是方法1得到的方程.
(三)课堂练习
1.已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= .
2.已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是().
3.已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k= .
答案或提示
(四)小结
1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代
数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.
3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.
(五)作业
1.设方程3x2-5x+q=0的两根为x1和x2，且6x1+x2=0,那么q的值等于( ).
2.若关于x的方程3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为( ).
3.已知关于x的二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q都是奇数，那么它的根( ).
(A) 一定都是奇数 (B)一定都是偶数 (C) 有可能是真分数 (D) 有可能是无理数
4.(1)如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.
(2)如果是方程x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.
5.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
6.求一个元二次方程，使它的两个根分别为
7.已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.
作业的答案或提示
.
课堂教学设计说明
1.观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时，先
从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数
不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.
2.教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便
些.教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功
能.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及
两极之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.