教学目标
(一)提高学生对于根的判别式的运用能力；
(二)提高学生对于根与系数关系的运用能力.
教学重点和难点
重点：会用根的判别式及根与系数关系解题.
难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件.特别是容易忽略隐含条件.
教学设计过程
(一)复习
1.已知一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0).
(1) 它的根的判别式是什么?用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,用△表示)
(2) 叙述一元二次方程根的判别式的性质.
(一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根.
反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，△＞0，有两个相等的实数根时，△=0；
没有实数根时，△＜0)
2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2=?,x1·x2=?
(2)上述性质的逆命题怎样叙述?此逆命题是否成立?
3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题)都
知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练.
(二)新课
例1 P为何值是，方程 x2+3x+3+P(x2+x)=0
(1) 有两个相等实根；(2)试作一个一元二次方程，使P的这些值是这个方程的根.
分析：从根的判别式性质，可求出P值，从而写出所求的一元二次方程.但根据方程根
的性质，可使解题过程简单些.
解：欲使方程x2+3x+3+p(x2+x)=0有等根，则方程(1+p)x2+(3+p)x+3=0的根的判别式应
等于零.即△=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得p2-6p-3=0.
由已知P是所求方程的根，因此二次方程x2-6x-3=0就是所求方程.
例2 若α，β是方程x2+x-1=0的两根，
求证：(1)α2=β+2,β2=α+2;
分析：由根与系数关系及方程根的定义，列出有关等式，由此得出(1)的结论.
证明：由α,β是方程x2+x-1=0的两根，得
α2+α-1=0, ①
β2+β-1=0. ②
由根与系数关系，得
α+β=-1, ③
αβ=-1. ④
由③，得 α=-β-1, ⑤
⑤式平方，得 α2=β2+2β+1. ⑥
由⑥α2=β2+β+β+1=β2+β-1+β+2,把②代入，得α2=0+β+2,所以α2=β+2.
由③ β=-α-1, ⑦
⑦式平方，得 β2=α2+2α+1, ⑧
由⑧ β2=α2+α+α+1=α2+α-1+α+2,把①代入，得β2=0+α+2,所以β2=α+2;
例3 m取什么值时，方程.
(1) 有两个实根； (2)有一个根为零； (3)两根异号； (4)有两个正数根.
解：(1)△=(-2m)2-4(2m-1)=4m-8m+4=-4m+4=4(-m+1).
令△≥0,即4(-m+1)≥0，所以m≤1. ①
又由m可知，必须m≥0 ②，把①，②结合在一起，当0≤m≤1时，原方程有两个实根；
注意 此问的解答中，容易忽略条件②.
(2) 由已知，两根之积为零，即2m-1=0,所以m=时，，原方程有一个根为零；
(3) 由已知，两根之积为负值，即2m-1＜0,所以m＜时，原方程两根异号；
(4) 设两根都是正数，应先把已知条件转化为方程或不等式，再计算出m值.由x＞10,
x2＞0，所以x1+x2＞0及x1x2＞0,
即
但是仅凭条件①，②还不足以说明两根都是正数，还必须有条件△≥0,
即 △=4(-m+1)≥0. ③
由①，②，③，得不等式组
答：当＜m≤1时，原方程有两个正数根.
注意：如果忽略了条件③，即答＜m时原方程有两个正数根，这个答案就错了.例如
取m=4，原方程为x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式.△=(-4)2-4×7=-8＜0，即方程x2
-4x+7=0没有实根，也就没有正根了.
(三)课堂练习
α取什么值时，关于x的二次方程x2+2ax+2a2-1=0的两根中至少有一个是正根.
(提示：两根中至少有一个正根，包括三种情况(1)两根都是正数；(2)一个正根，一个负根；(3)一个正根，一个根为零.
由(1)，列出条件组
(四)小结
1.在用根的判别式及根与系数关系解题时，不要忽略隐含条件，像例3第(4)问中的条件
△≥0.
2.在计算时，也不要忽略算式隐含的条件，像例3第(1)中隐含的条件m≥0.
(五)作业
1.求作一个一元二次方程，使其根与已知方程ax2+bx+c=0的根的比为m.
2.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二根之比为2:3,求证：6b2=25ac.
3.已知u=16x2+12x+39,υ=9x2-2x+11,求：对于二次式u+kυ是一个完全平方式的常数k
的值.
4.c为实数，且x2-3x+c=0中有根一相反数是方程x2+3x-c=0的一个根，求方程x2-3x+c=0
的根.
5.k是什么值时，关于x的方程(k2-1)x2-6(xk-1)x+72=0有两个不相等的正整数根.
作业的答案或提示
2.由于原方程两根之比为2：3，所以可设两根为2k，3k，于是
4.设a是x2-3x+c=0的一个根，且是方程x2+3x-c=0的根，则有
③-④得2c=0,所以c=0,代入x2-3x+c=0,得x2-3x=0，解此方程得x1=0,x2=3.
5.因为方程要有两个根，此方程必定是一元二次方程，二次项系数必定不是零即k2-1≠
0得k≠±1 ①,又因为两实根不相等，△＞0.即［-6(3k-1)］2-4×72(k2-1)＞0,得k≠3.②
要使x1,x2都是整数，必须k+1能整除12，且k-1能整除6.
由k+1能整除12，k+1可为1,2,3,4,6,12即k可为0,1,2,3,5,11. ③
由k-1能整除6，k-1可为1,2,3,6即k可为2,3,4,7. ④
由③，④的共同解为k=2,k=3,但由②知k≠3,所以只能取k=2.
答：k=2时，原方程有两个不相等的正整数根.
注意：不要忽略原题中一些关键词所含的条件.
像“两个”，限定了k≠±1，像“不相等”，限定了△＞0，即k≠3，像“正整数”
，限定了k+1可为1,2,3,4,6,12且k-1可为1,2,3,6.
课堂教学设计说明
1.在复习旧知识时，把根的判别式及根与系数关系的原定理与逆定理都提出，并着重提
醒学生记住.
2.例1不仅用到根的判别式性质，还用到方程根的概念.例2不仅用到根与系关系，还用
到了方程根的概念.这两个例题中的“方程的根”这个条件容易被忽略.
3.综合运用根的判别式性质与根与系数关系时，往往容易忽略某些条件.例3就是要说
明这一点，尤其是例3的第(4)问.