分类讨论思想的教学策略
山东东明一中 梁跃岭
数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴，数学教学中不仅要注重数学知识的传授，能力的提高，更要注重揭示知识发生、发展过程中，解决问题过程中蕴含的数学思想方法。数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用。
分类讨论是一种重要的数学思想方法：是按照数学对象的相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法（朱人杰.数学思想方法研究导论）；分类讨论是根据需要对研究对象进行分类，然后将划分的每一类别分别进行求解，综合后即得答案（任子朝.数学标准解读）。分类讨论贯穿在整个高中数学学习的全过程，通过分类可以使大量繁杂的材料条理化、系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着重要作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生思维能力、解决问题的能力有很大作用。
数学思想方法需要在教学过程中多次孕育，初步形成以致应用发展，使思想方法由隐到显，以致明朗化、深刻化。本文针对部分学生不会分类，分类不全面，标准不统一，以致有畏难情绪，结合学生学习实际，提出分类讨论的三个教学策略，以求学生能理解该思想方法的含义，初步掌握该方法的操作步骤，会运用分类讨论思想方法解决问题。
1、分类讨论的教学策略一、“按需而分”
分类讨论是按照数学对象的相同点和相异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。是根据研究数学对象、数学问题过程的需要进行分类讨论，需要是根本。在教学过程中要挖掘教材中采用分类讨论解决问题的材料，渗透、孕育分类讨论思想，同时一定要让学生体验到分类讨论的必要性，是解决问题的需要而讨论。逐步内化为学生的思想意识。
1.1、从数学知识的发生、发展过程，分类是一种重要的逻辑方法，通过分类研究可以使问题化繁为简，化零乱为条理，化分散为系统。如研究函数，从函数的解析式、定义域、值域、性质和图像，先一般函数后特殊函数，指数函数、对数函数、三角函数。数列也可以看成特殊的函数来进行研究，以期更深刻地理解数列的本质。
1.2、在高中数学教学过程中着重在以下方面对学生加以引导，让学生体悟分类讨论思想的运用: 绝对值概念的定义；一元二次方程根的判别式与实根数的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；指数函数、对数函数的单调性与底a的关系；等比数列的求和公式中q=l与q≠1的区别；由数列的前n项和求数列的通项公式n=1与n≠1；不等式的性质，不等式两边同乘以一个正数还是负数；绝对值不等式的解法，一般“零点讨论”去绝对值；无理不等式形如 ，对g（x）非负或正的讨论，以去掉无理号；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在，若直线的斜率不存在，不能用点斜式或斜截式表示；圆锥曲线的统一定义中，由e的大小决定圆锥曲线的不同形状是椭圆、抛物线或者双曲线；等等
1.3、含参数问题，必须考虑参数的不同取值对问题的不同影响，根据问题的需要，对参数进行讨论，以解决问题。
例1.1 设首项为1，公比为q(q＞0)的等比数列的前n项之和为Sn又设Tn=Sn/(Sn+1)(n=1，2，…)，求
分析：由数列公比q是否等于1不确定，利用前n项和公式就必须讨论。
解:(1)当公比q满足0<q<1时
(2)当公比q=1时
(3)当公比q>1时
例1.2、问a为何值时？不等式（a2-3a+2）x2+（a-1）x+2〉0的解是一切实数。
分析：题目中给出不等式这一属概念，而非具体到一元几次不等式，故解题过程中需针对a2-3a+2=0，a2-3a+2≠0两种情况进行讨论，确定不等式为一元一次或一元二次，再进行解答。
解：（1）若a2-3a+2=0 解得a=1或a=2
a=1时原不等式为2>0恒成立，所以a=1适合题意。
a=2时，原不等式为x+2>0，它的解不是一切实数，所以a=2不适合题意。
（2）若a2-3a+2≠0，必须有
由①得a<1或a >2
由②得a<1或a>
所以a的范围a∈（-∞，1）∪（ ，+∞）
由（1），（2）可知a∈（-∞，1] ∪（ ，+∞）
例1.3、已知 ，若f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值是M（a），最小值是N（a），令g（a）=M（a）-N（a）
（1） 求g（a）的解析式
（2） 判断g（a）的单调性，并求g（a）的最小值
分析：本题是闭区间上二次函数的最值问题，既要考虑二次函数的对称轴 ，但最大值随 在，（1，2]或（2，3]上不同而变化，故必须讨论所在的区间。解略。
例1.4、（人教社试验修订本高中数学第二册上p88.23）
从圆 外一点P（2，3）向这个圆引切线，求切线的方程。
分析：过点P的圆的切线，不可直接设点斜式方程，而应考虑到斜率不存在的情况。
解：过点P（2，3）垂直于x轴的直线方程为x=2，圆心C（1，1）到x=2的距离d=1=r，所以x=2为圆的一条切线
设过点P的圆的另一条切线方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0
因为圆心C到次切线的距离
所以这条切线的方程是：
2. 分类讨论的教学策略二、恰当确定分类的标准，不重不漏
分类讨论解决问题，首先根据问题的需要而分类讨论，其次要确定划分的标准，同一次分类要按统一标准进行。确定划分的标准（1）对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要作到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏；任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复。（2）根据需要局部再分类，即问题需要多级讨论，要逐级分类，每一局部问题都得到解决，整个问题得到解决。
例2.1、由12个人组成课外文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又会唱歌，若从中选出4个人会跳舞和4个会唱歌的人去排练节目，共有多少种不同的选法？
分析：对用于比较复杂的在若干集合中窜去元素的问题，一般需要分类求解，正确运用分类思想正确地对所选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求解问题。本题可从特殊元素--既会跳舞又会唱歌的二人入手，从他们开始分类，按对象的性质分布挑选，同时按统一性质的对象的多少进行分类，应“注重一面，照应全局”，以避免重复或遗漏。
解：（1）若既会跳舞又会唱歌的二人都不去跳舞，则有 种不同选法。
(2)若两人一人去跳舞，则有 种不同的选法。
(3) 若两人都去跳舞，则有 种不同的选法。
由分类计数原理，共有 种不同的选法。
巩固练习：用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点做四棱锥的5个顶点，共可得到多少个四棱锥？
例2.2、 解关于x的不等式：
分析：本题是含参数的分式不等式，解本题要先化成 型标准的分式不等式，在转化为 型，进而找出 的所有根，求出不等式的解。
解：原不等式变为
（这一层次需要明确（a-1）x-a+2=0有没有根？有根情况下，需比较根与x-2=0的根2的大小？），
① 当a=1时，原不等式化为 x-2＞0，所以不等式的解为{x|x＞2}
② 当a＞1时，原不等式变为
③ 当a<1时，原不等式变为
（这一步，两根大小不定，要写出不等式的解集，必须分清 的大小，故先解 解决。）
例2.3、在6名运动员中，选4人参加400米接力，其中甲不跑第一棒，已不跑第四棒，共有多少种参赛方法？
分析：本题中甲、乙两名运动员是特殊元素，第一棒、第四棒是两个特殊位置，所以可依据从特殊元素、特殊位置来分类，要先特殊后一般，先选后排，合理分类。
解法一：依据甲运动员跑第几棒可分为两类
（1） 甲跑第四棒时，有 =60种参赛方法；
（2） 甲不跑第四棒，选派第四棒有 种方法，选第一棒有 种不同方法，余下的中间两棒在剩下的4人中任意选排有 种方法，共有 =192种参赛方法。
综上可得，共有参赛方法 =252种。
解法二、依据甲乙两人参赛，可分为三类
（1）、甲乙两人无人参赛，共有 =24参赛方法；
（2）、甲乙两人只有一人参赛，共有 =144种方法；
（3）、甲乙两人都参加比赛，有 =84种参赛方法；
综上可得，共有参赛方法24+144+84=252种。
3. 分类讨论的教学策略三、力争避免讨论
有时候分类讨论是解决问题的必须，但有时候通过认真分析问题的本质意义，采用代换的方法，换一种思维方式解决问题，常可避免繁杂的讨论，给出简洁的解法。
例3.1求中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过P 和Q 两点的双曲线方程。
分析：已知中缺乏双曲线定位的条件，焦点坐标或准线方程，可以讨论焦点在哪一个坐标轴上，分别求解，得出结论，过程复杂，运算量大且容易出错。若采用双曲线的变化形式 来表示焦点在不同坐标轴上的标准方程，利用待定系数法，即得出要求的结论，又避免了讨论。
解：设双曲线的方程为
由已知双曲线经过 ，代入， 解得
所以所求的双曲线方程为：
（类比可解决椭圆类似的问题）
例3.2、已知双曲线的渐近线方程为 ，并且焦点都在圆 上，求双曲线方程。
分析：从已知渐近线方程，焦点位置知，焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，故可以分两种情况讨论求解。
解、（1）当焦点在x轴时，设双曲线方程为 ，因渐近线方程为 ，则 ，①
又有焦点在圆 上知C=10，即有 ②
由式①，②解得a=6，b=8，所以双曲线方程为
（2）当焦点在y轴上时，设双曲线方程为 ，由已知得
（评析，给出双曲线的渐近线，但不能确定焦点位置，可以设双曲线方程为， 或 取不同值得到的是一系列具有相同渐近线的双曲线）
解法二、设双曲线方程为 。
一般而言，若双曲线的渐近线方程为： 则其共轭双曲线方程形式为
例3.3、（2000北京春季高考）设函数
分析：如何转化 ，方法一是分类讨论，据零点分为三步去掉绝对值，分别推出；方法二是根据绝对值的性质，两边平方，去掉绝对值号，分解因式得。
解、由已知f（x）=|lgx|，
方法一：
方法二：
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