张家港市港区高级中学 章玉龙 215633
三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好地体现数学思想方法的应用，因而一直是高考的热点和重点。
一、化为y=Asin(ωx+ψ)求最值
这类函数的定义域、值域、图象、周期性、单调性、最值构成了三角函数中最基本的内容，因而是求最值的重要方法。
例1、（1996年高考题）当－π2≤x≤π2时，函数f(x)=sinx+3 cosx的（ ）
A、最大值是2，最小值是－2 B、最大值是1，最小值是－12
C、最大值是1，是小值是－1 D、最大值是2，最小值是－1
简解：f(x)=sinx+3 cosx=2sin(x+π3 )
Θ－π2≤x≤π2, ∴－π6 ≤x+ π3 ≤5π6
∴－12 ≤(x+π3 )≤1,从而－1≤f(x)≤2，故选（D）。
评析（1）形如y=αsinx+bcosx的函数可化为函数y=a2+b2 sin(x+ψ)（其中cosψ=aa2+b2 ,sinψ=ba2+b2 ）。
例2（2000年高考题）已知函数y=12 cos2x+ 32 sinxcosx+1,x∈R。
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（1）简解：所给函数可化为
y= 14 cos2x+ 34 sin2x+ 54 =12 sin(2x+ π6 )+ 54 。
y取得最大值必须且只需2x + π6 =2kπ+ π2 , 即x=kπ+ π6 (k∈z)，故所求集合为{x︱x=kπ+π6 , k∈z}。此时y的最大值= 74
例7 求函数y= 2－sinx2－cosx 的最值
解：运用正余弦函数的有界性求解。
去分母得：sinx+ycosx=2－2y
即：sin(x+ψ)= 2－2y1+y2
∵︱sin（x+ψ）︱≤1
∴∣2－2y1+y2 ︱≤1
解之得：4－73 ≤y≤4+73
故ymin= 4－73 , ymax= 4+73
借助y=Asin（ωx+ψ）的有界性，可解决三角函数最值问题.
二、化为二次函数求最值
这类问题的求解思路为通过换元，转化为二次函数在某一区间上的最值问题，利用二次函数的图象和性质求最值.
例3 函数y=cos2－3cosx+2 的最小值是（ ）（1997年高考题）
A．2 B．0 C．－14 D．6
解：设cosx=t∈[－1，1]，则原函数可化为
f（t）=t2－3t+2，t∈[－1，1]
f（t）=（t－32 ）2－14
此函数在[－1，1]上为减函数。
∴f（t）的最小值为f(1)=0。
即原函数的最小值为0，故选（B）
例4 函数y=sinxcox+sinx+cosx的最大值是 。（1992年高考题）
解：设sinx+cosx=t，则t∈[－2 ,2 ]，sinxcosx= t2－12 ，于是原函数转化为：
f（t）= t2－12 +t= 12 (t+1)2－1 , t∈[－2 ,2 ] , ∴当t=2 时，f（t）的最大值为f（2 ）= 12 + 2 。
即原函数的最大值为12 + 2 。
三、利用基本不等式求最值
例5 设复数z=3cosθ+isinθ，求函数y=tan(θ－argz)(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值。（1999年高考题）
解：由0<θ<π2得tan>θ
由z=3cosθ+isinθ得
tan(argz)=sinθ3cosθ =13 tanθ
故y=tan(θ－argz)
= tanθ－13tanθ1+ 13tan2θ
=23tanθ +tanθ
∵3tanθ +tanθ≥23
∴23tanθ +tanθ ≤33
当且仅当3tanθ =tanθ(0<θ<π2)时，
即tanθ=3 时，上式取等号。
所以当θ= π3 时，函数y取得最大值33 .
四、利用函数的单调性求最值
例6 求函数y=sinx+ 2sinx (0＜x＜π)最小值。
分析：此函数虽满足均值不等式求最值的前两个条件，但不能保证第三个条件sinx=2 成立，故需转化为特殊函数y=x+ ax 型，利用函数单调性求解。
设sinx= t∈(0,1］,函数y= t+ 2t 在t∈(0,1］上是减函数，所以t=1即sinx=1时，ymin=3.
以上只是归纳了求三角函数最值的几种常用的方法，象数形结合法、构造法等数学方法也可作为求三角函数最值的一种补充，这里不在赘述。